10. Kraje Malej Sféry vzorové riešenie

V nerovnostiach sa často oplatí najprv odskúšať na začiatok nejaké konkrétne špeciálne hodnoty, aby sme dostali intuíciu, kedy nastávajú extrémy a ako sa výraz v nerovnosti správa. Následne nám to môže dať nadhľad, čo sa týka odhadov a zbraní, ktoré môžeme použiť na jej dokázanie. Dobrým príkladom takých špeciálnych hodnôt sú prípady, keď všetky $3$ premenné sú rovnaké alebo zas keď $1$ je „veľká“ a zvyšné sú „malé“. Rovnako je to aj v prípade tejto nerovnosti. Pre $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ dostávame hodnotu výrazu $$\frac{a}{1+a^4}+\frac{b}{1+b^4}+\frac{c}{1+c^4} =\frac{3a}{1+a^4}=\frac{9\sqrt{3}}{10}.$$ Na druhej strane, v prípade keď $a=b=0$ a $c=1$, dostávame hodnotu výrazu $$\frac{a}{1+a^4}+\frac{b}{1+b^4}+\frac{c}{1+c^4} =2\cdot\frac{0}{1+0^4}+\frac{1}{1+1^4}=\frac{1}{2}.$$ Keď sme sa už zorientovali, tak poďme dokázať hornú hranicu.

Horná hranica

Najprv si spomeňme, pri akých známych nerovnostiach, ktoré platia na nezáporných číslach, dostávame rovnosť práve vtedy, keď jej aktéri sa rovnajú. Príkladom sú priemerové KAGH nerovnosti alebo aj mocninové priemery¹. Keďže so zlomkami sa nepríjemne pracuje, tak môžeme spraviť rafinovaný odhad, aby sme sa ich zbavili. Na to použijeme AG nerovnosť $$a^4+1=a^4+9\cdot\frac{1}{9} \geq 10\sqrt[10]{a^4\cdot \left(\frac{1}{9}\right)^9},$$ kde rovnosť nastáva práve vtedy, keď $a^4=\frac{1}{9}$, teda keď $a=\frac{1}{\sqrt{3}}$, čo je presne vtedy, kedy sa nám podarila dosiahnuť horná hranica. Z toho máme, že $$\frac{a}{1+a^4}\leq \frac{a}{10\sqrt[10]{a^4\cdot(\frac{1}{9})^9}}=\frac{9^{\frac{9}{10}}a^{\frac{3}{5}}}{10},$$ čiže analogickými odhadmi dostávame silnejšiu nerovnosť $$\frac{a}{1+a^4}+\frac{b}{1+b^4}+\frac{c}{1+c^4}\leq\frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}\left(a^{\frac{3}{5}}+b^{\frac{3}{5}}+c^{\frac{3}{5}}\right)\leq\frac{9\sqrt{3}}{10},$$ ktorú ideme teraz dokázať. Využijeme teraz mocninové priemery pre exponenty $\frac{3}{5}$ a $2$ ktoré nám hovoria, že $$\left(\frac{a^{\frac{3}{5}}+b^{\frac{3}{5}}+c^{\frac{3}{5}}}{3}\right)^{\frac{5}{3}}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}},$$ čo nám po zopár triviálnych úpravách a dosadeniach (ktoré prenechávame na čitateľa) dá sľúbenú hornú hranicu. Pritom sa môžeme zamyslieť, že z použitých odhadov naozaj vyplýva, že rovnosť nastáva práve vtedy, keď $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Dolná hranica

Pozrime sa na dolnú hranicu. Tú sme dostali, keď jedno z čísel bolo $1$ a zvyšné boli $0$. Jeden odhad, ktorý nadobúda rovnosť pre práve $1$ a $0$ je napríklad taký, že ak máme reálne čísla $p,q$ také, že $p\geq q$ tak $x^q \geq x^p$ pre reálne číslo $x$ z uzavretého intervalu $0$ až $1$, z ktorého sú aj naše $a$, $b$, $c$, čo vyplýva zo zadanej podmienky. Tu konkrétne využijeme, že $a\geq a^2$. Teraz odhadneme menovatele, keďže $a\leq 1$ tak následne aj $a^4\leq 1$, čiže $\frac{1}{2}\leq\frac{1}{1+a^4}$. Analogické odhady platia aj pre $b$ aj $c$. Keď ich všetky dáme dokopy, tak máme $$\frac{a}{1+a^4}+\frac{b}{1+b^4}+\frac{c}{1+c^4}\geq\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2},$$ kde rovnosť nastáva práve vtedy, keď jedno z čísel je $1$ a zvyšné sú $0$, čo je práve vtedy, keď nastáva rovnosť aj v hore použitých odhadoch.