Zadanie
Dávno predtým, než sa dvaja malí zašmudlaní delikventi preslávili ako maškrtní lovci čarodejníc, sa do Začarovaného lesa presťahovala milá ježibabka-architektka. Nemastný-neslaný svet jej víziu nechápal, preto sa rozhodla postaviť si domček z jedla sama. A začala pekne od podlahy – od tvrdých izomaltových dlaždíc.
Ježibabka mala dohromady \(14\) dlaždíc, z toho \(8\) modrých a \(6\) červených (dlaždice rovnakej farby nevie medzi sebou rozlíšiť). Chcela ich poukladať od bráničky ku dverám domčeka jednu za druhou tak, aby medzi každými dvoma červenými dlaždicami bola aspoň jedna modrá. Koľkými spôsobmi vie ježibabka takto poukladať dlaždice?
Keďže medzi každými dvoma červenými dlaždicami musí byť aspoň jedna modrá, tak keď si poukladáme všetkých \(6\) červených dlaždíc, tak vieme, že medzi ne musíme umiestniť \(5\) modrých. Máme teda sekvenciu \[\text{Č M Č M Č M Č M Č M Č.}\] Ostávajú nám ešte \(3\) modré dlaždice, ktoré musíme umiestniť niekde do sekvencie. Keďže modré dlaždice nevieme medzi sebou rozoznať, tak máme iba \(7\) miest na ktoré môžeme ukladať tieto \(3\) modré dlaždice. Uvedomme si, že na jedno miesto môžeme umiestniť viac ako len jednu modrú dlaždicu. Celkový počet rozmiestnení sa teda rovná počtu umiestnení \(3\) modrých dlaždíc na \(7\) miest. Tento problém vieme premeniť na usporiadanie \(3\) dlaždíc a \(6\) oddeľovačov, ktoré nám budú reprezentovať \(7\) miest, do ktorých naše \(3\) dlaždice vkladáme. Celkovo ich vieme usporiadať \(9!\) spôsobmi, ale oddeľovače a dlaždice navzájom nevieme rozoznať. Preto treba tento počet predeliť počtom možností kde máme rovnaké rozmiestnenie modrých dlaždíc. Tie vieme v každom rozmiestnení usporiadať \(3!\) možnosťami a zároveň oddeľovače taktiež vieme medzi sebou usporiadať a tie zase \(6!\) možnosťami. Teda tento výsledok ešte predelíme súčinom \(3!\) a \(6!\). Dostaneme tak \(\frac {9!}{6! \cdot 3!} = 84.\)
Celkový počet rozmiestnení modrých a červených dlaždíc, tak aby medzi každými dvoma červenými dlaždicami bola aspoň jedna modrá, je \(84\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.