3. Kód Myslím Si $\left(\kappa \le 3\right)$ vzorové riešenie

Zamyslime sa na začiatok, čo sa deje s ciferným súčtom čísla, keď ho vynásobíme dvomi. Pokiaľ vynásobíme dvojkou cifry \(0, 1, 2, 3, 4\), dostaneme postupne \(0, 2, 4, 6, 8\). Pokiaľ ale vynásobíme \(5, 6, 7, 8, 9\), z nich dostávame \(10, 12, 14, 16, 18\). Pri násobení po cifrách však musíme do výsledku zapisovať cifry a poprípade nám môže nejaká desiatka „zvýšiť“ ako jednotka do vyššieho rádu. Takže ak označíme \(s(n)\) ciferný súčet čísla \(n\), vyzerá to, že vo všeobecnosti by mohlo platiť zhruba niečo také, že \(s(2n)=2s(n)\), keby nám to nekazili prechody cez desiatku.

Mohli by sme mať nápad, že sa pozrieme na to, či pri násobení predošlej cifry vznikol prechod cez desiatku a ak áno, pripočítame to k výsledku tohto násobenia. S prechodmi cez desiatku je však taký problém, že sa môžu na seba „nabaľovať“. Predstavme si, že by sme násobili \(134\cdot3\). Ak chceme vedieť, aká cifra bude na mieste stoviek vo výsledku, tak by sme sa pozreli na \(1\cdot3=3\) a zároveň by sme sa uistili, že pri predošlej cifre \(3\cdot 3=9<10\) nenastal prechod cez desiatku. Tým by sme dostali, že na mieste stoviek má číslo \(134\cdot3\) cifru \(3\). Lenže \(134\cdot3=402\) nemá na mieste stoviek cifru \(3\). Prečo je to tak? No pri násobení na mieste desiatok síce máme len \(3\cdot3=9\), avšak z násobenia na mieste jednotiek \(3\cdot4=12\) nám „zvýši“ jednotka, takže výsledok už bude \(10\). To znamená, že hodnotu cifry na nejakom mieste vo výsledku pri násobení jednociferným číslom nám neovplyvňuje len cifra na rovnakom mieste v pôvodnom čísle a cifra nasledujúca, ale aj všetky ostatné za nimi.

A hoc by sme teraz mohli mať hlavu v smútku, pre násobenie dvomi je však svet krajší. Všimnime si, že „zvýšiť“ nám môže nanajvýš jedna jednotka. Zároveň, keby sme nepočítali s prechodmi cez desiatku, cifry, ktoré vieme dostať vo výsledku, sú len \(0, 2, 4, 6\) a \(8\). Keď však ktorúkoľvek z nich zvýšime o \(1\), stále ostaneme pod desiatkou, čiže prechod sa nebude „nabaľovať“. To znamená, že ak chceme pri násobení dvomi zistiť, aká cifra bude vo výsledku na nejakom mieste, stačí sa v pôvodnom čísle pozerať na cifru na rovnakom mieste a cifru za ňou nasledujúcu.

V tabuľke vidíme, že vždy budeme mať vo výsledku namiesto cifry \(x\) hodnotu \(2x\), len niekedy k nej musíme niečo pripočítať alebo od nej niečo odpočítať. Bolo by fajn zistiť, ako často také niečo budeme robiť.

Uvedomme si, že ak máme cifru menšiu alebo rovnú \(4\), nemusíme kvôli nej pripočítavať ani odpočítavať nič. Ak však máme cifru väčšiu alebo rovnú \(5\), na jej mieste sa nám od ciferného súčtu odpočíta desiatka a na mieste naľavo sa nám kvôli prechodu cez desiatku pripočíta jednotka. Preto za každú cifru väčšiu alebo rovnú \(5\) musíme odpočítať deviatku.

Vidíme, že to, o koľko sa nám \(s(2n)\) vychýli od \(2s(n)\), závisí iba od počtu „veľkých“ cifier v \(n\). Poďme teda zistiť, aký má byť. Označme \(p_{\geq5}(n)\) počet cifier \(n\), ktoré sú väčšie alebo rovné ako \(5\). Potom \[s(2n)=2s(n)-9p_{\geq5}(n).\]

Keďže pre \(N\) zadanie požaduje, aby \(s(N)=12\) a \(s(2N)=18\), tak musí platiť \[\begin{align} s(2N)&=2s(N)-9p_{\geq5}(N),\\ 18&=24-9p_{\geq5}(N),\\ 9p_{\geq5}(N)&=6,\\ p_{\geq5}(N)&=\frac23.\end{align}\]

To však ale nesedí, lebo počet cifier väčších alebo rovných \(5\) musí byť celé číslo, čo \(\frac23\) nie sú. Preto také \(N\) neexistuje.

Iné riešenie.

S ciferným súčtom narábajú niektoré pravidlá deliteľnosti. Napríklad číslo je deliteľné tromi práve vtedy, keď je tromi deliteľný aj jeho ciferný súčet. Podobné pravidlo platí aj pre deviatku. No a všimnime si, že ciferný súčet \(2N\) má byť \(18\). Ten je deliteľný deviatimi, preto aj \(9\mid 2N\). Avšak, deviatka a dvojka nemajú spoločné delitele, preto aj \(N\) samotné musí byť deliteľné deviatimi. To by ale malo mať aj ciferný súčet deliteľný deviatimi, čo hodnota \(12\) nespĺňa. Tým sme dostali spor v podmienkach zo zadania, a teda také číslo \(N\) neexistuje.