Zadanie
Ježibabkino nové podkrovie malo lichobežníkový tvar, aby nad ním, v trojuholníkovom priestore hneď pod strechou, mohol bývať Bezzubý. Lenže Bezzubý bude svojou váhou ohýbať trámy a ona si do nich v noci zase tresne hlavu. Keď ježibabka načrtla prepadnuté trámy, spoza jej pleca vykukol drak a začal sa zaujímať o jej náčrt. Katastrofický scenár preto rýchlo premenila na geometrickú úlohu.
V lichobežníku \(ABCD\) platí, že strany \(AB\) a \(CD\) sú rovnobežné, \(|BC|=|AD|\), \(|DC|=2|AD|\) a \(|AB|=3|AD|\). Označme \(E\) priesečník osí uhlov \(DAB\) a \(CBA\). Akú časť lichobežníka tvorí trojuholník \(ABE\)?
Ako prvé si nakreslime ako vyzeralo ježibabkino lichobežníkové podkrovie. Ďalej si označme \(|AD|=a\) a následne podľa zadania doplňme \(|BC|=a\), \(|AB|=3a\), \(|DC|=2a\).
.png)
Teraz sa skúsme pozrieť na trojuholníkový priestor hneď nad podkrovím, v ktorom býva Bezzubý. Dokreslime si teda náš lichobežník \(ABCD\) na trojuholník \(ABV\).
.png)
Môžeme si všimnúť, že trojuholníky \(ABV\) a \(DCV\) sú podobné, keďže \(AB\) a \(DC\) sú rovnobežné. Vieme. že \(\frac{|DC|}{|AB|}=\frac{2}{3}\), teda potom musí platiť aj \(\frac{|DV|}{|AV|}=\frac{2}{3}\), čo si môžeme upraviť ako \[\begin{align} \frac{|DV|}{|AD|+|DV|}&=\frac{2}{3},\\ 3|DV|&=2(|AD|+|DV|),\\ 3|DV|&=2|AD|+2|DV|,\\ |DV|&=2|AD|=2a.\end{align}\] Teda \(|AV|=3a\), rovnako aj \(|BV|=3a\), keďže trojuholník \(ABV\) je rovnoramenný s ramenami \(AV\) a \(BV\). Keďže všetky strany trojuholníka \(ABV\) majú dĺžku \(3a\), trojuholník \(ABV\) je rovnostranný. Označme priesečník strany \(AV\) s osou uhla \(ABV\) ako \(F\) a obsah trojuholníka \(ABV\) ako \(S_{ABV}\).
.png)
Pre rovnostranný trojuholník platí, že jeho výšky, osi strán, osi uhlov a ťažnice sú totožné. Z toho vyplýva, že os uhla \(ABV\) je totožná s ťažnicou na stranu \(AV\), teda delí trojuholník \(ABV\) na polovicu. Čo môžeme zapísať ako \(S_{ABF}=\frac{1}{2}S_{ABV}\). Ďalej z toho vyplýva, že \(E\) je ťažisko trojuholníka \(ABV\), teda delí úsečku \(FB\) v pomere \(1:2\), teda aj obsahy trojuholníkov sú v pomere \(1:2\), čo môžeme zapísať ako \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{1}{2}\) čo vieme upraviť ako \[\begin{align} \frac{S_{ABE}}{S_{ABF}}&=\frac{2}{3},\\ 3S_{ABE}&=2S_{ABF},\\ 3S_{ABE}&=2\frac{1}{2}S_{ABV},\\ 3S_{ABE}&=S_{ABV},\\ S_{ABE}&=\frac{1}{3}S_{ABV}.\end{align}\]
Teraz sa pozrime akú časť z trojuholníka \(ABV\) tvorí lichobežník \(ABCD\). Trojuholníky \(ABV\) a \(DCV\) sú v pomere \(3:2\), teda ich obsahy sú v pomere \(9:4\), čo môžeme zapísať ako \(\frac{S_{DCV}}{S_{ABV}}=\frac{4}{9}\), teda \(\frac{S_{DABCD}}{S_{ABV}}=\frac{5}{9}\), čo môžeme zapísať ako \(S_{DABCD}=\frac{5}{9}S_{ABV}\).
Nakoniec sa teda pozrime na pomer obsahov trojuholníka \(ABE\) a lichobežníka \(ABCD\). \[\begin{align} \frac{S_{ABE}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}S_{ABV}}{\frac{5}{9}S_{ABV}}=\frac{3}{5}. \end{align}\]
Trojuholník \(ABE\) tvorí \(\frac{3}{5}\) lichobežníka \(ABCD\).
Dodajme ešte, že náčrty vyššie úplne nezodpovedali realite. Je to preto, že bod \(E\) v skutočnosti leží na úsečke \(CD\). Aby sme sa však vyhli tomu, že tento nedokázaný fakt v riešení využijeme, nakreslili sme si obrázok, ktorý k tomu ani trochu nenavádza. A ak vás zaujíma, prečo \(E\) leží na \(CD\), skúste si to dokázať. Ak neviete, ako, zamyslite sa, v akom pomere rozdeľuje ťažisko ťažnice.
.png)
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.