Zadanie
Ježibabka práve pchala marshmallows do vankúšov, keď jej v schránke obalenej jedlým zlatom zašuchotala pošta. Žeby niekto prijal jej pozvánku na kolaudačku? Nie, to bude asi nejaký výhražný list či čo.
V obore reálnych čísel riešte rovnicu \[\frac{x}{x+4}=\frac{5 \lfloor x \rfloor -7}{7 \lfloor x \rfloor -5},\] kde \(\lfloor x \rfloor\) označuje dolnú celú časť reálneho čísla \(x\) (teda najväčšie celé číslo menšie alebo rovné \(x\)).
Najprv zo skúmania vylúčme možnosť, že \(x=-4\), to by bola v menovateli na ľavej strane nula. Keďže dolná celá časť je celé číslo, menovateľ vpravo \(7\lfloor x\rfloor-5\) je nenulové číslo.
Následne si upravme rovnosť do krajšieho tvaru: \[\begin{align} \frac{x}{x+4}&=\frac{5\lfloor x \rfloor - 7}{7\lfloor x \rfloor - 5},\\ x(7\lfloor x \rfloor -5)&=(x+4)(5\rfloor x \lfloor -7),\\ 7x\lfloor x\rfloor -5x&=5x\lfloor x \rfloor +20\lfloor x \rfloor -7x-28,\\ 2x\lfloor x \rfloor +2x&=20\lfloor x \rfloor -28,\\ x\lfloor x \rfloor +x&=10\lfloor x \rfloor -14,\\ x\lfloor x \rfloor +x-10\lfloor x \rfloor -10&= -14-10,\\ x(\lfloor x \rfloor +1)-10(\lfloor x \rfloor +1)&= -24,\\ (x-10)(\lfloor x \rfloor +1)&= -24,\\ (10-x)(\lfloor x \rfloor +1)&= 24.\end{align}\]
Ľavá zátvorka je kladná, ak \(x<10\), inak je záporná alebo \(0\). Pravá zátvorka je kladná, ak \(x\geq0\), inak je buď záporná, alebo \(0\). Obe zátvorky naraz nemôžu byť záporné, a preto obe musia byť kladné, lebo pravá strana rovnice je kladná. Tým pádom existuje len \(10\) možností, čomu sa rovná číslo \(\lfloor x \rfloor\). Upravme si rovnicu tak, aby sme vedeli priamo z nejakej \(\lfloor x \rfloor\) vypočítať \(x\):
\[\begin{align} (10-x)(\lfloor x \rfloor +1)&= 24,\\ 10-x&=\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1},\\ -x&=\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1}-10,\\ x&=10-\frac{24}{\lfloor x \rfloor +1}.\\\end{align}\]
Dosaďme teda hodnoty od \(0\) do \(9\) a zistime, ktoré z nich vyhovujú tomu, že \(\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor+1\):
| \(\lfloor x \rfloor\) | \(x\) po dosadení | \(x\) | Vyhovuje? |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(10-{24}/{1}\) | \(-14\) | \(\times\) |
| \(1\) | \(10-{24}/{2}\) | \(-2\) | \(\times\) |
| \(2\) | \(10-{24}/{3}\) | \(2\) | \(\checkmark\) |
| \(3\) | \(10-{24}/{4}\) | \(4\) | \(\times\) |
| \(4\) | \(10-{24}/{5}\) | \({26}/{5}\) | \(\times\) |
| \(5\) | \(10-{24}/{6}\) | \(6\) | \(\times\) |
| \(6\) | \(10-{24}/{7}\) | \({46}/{7}\) | \(\checkmark\) |
| \(7\) | \(10-{24}/{8}\) | \(7\) | \(\checkmark\) |
| \(8\) | \(10-{24}/{9}\) | \({66}/{9}\) | \(\times\) |
| \(9\) | \(10-{24}/{10}\) | \(7.6\) | \(\times\) |
Naša rovnica má teda práve tri riešenia \(2\), \(7\) a \({46}/{7}\).
Iné riešenie.
Vyjadríme \(x\) z \(\lfloor x\rfloor\) ako v predchádzajúcom riešení. \[x=10-\frac{24}{\lfloor x\rfloor+1}.\] Môžeme pokračovať ďalej, aj ak sme nespravili úvahu o znamienku, teda máme iba toto vyjadrenie (a vieme, že \(\lfloor x\rfloor+1\not=0\)). Priamo toto \(x\) môžeme dosadiť do \(\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1\). Potom upravíme sústavu (dvoch) nerovníc tak, aby v nej vystupovali polynómy v \(\lfloor x\rfloor\). Po ceste si treba uvedomiť, že bez znalosti znamienka \(\lfloor x\rfloor+1\) nemôžeme násobiť nerovnice touto hodnotou, ale jej druhou mocninou áno. \[\begin{gathered} \lfloor x\rfloor\leq10-\frac{24}{\lfloor x\rfloor+1}<\lfloor x\rfloor+1,\\ \lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)^2\leq10(\lfloor x\rfloor+1)^2-24(\lfloor x\rfloor+1)<(\lfloor x\rfloor+1)^3,\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2+\lfloor x\rfloor)\leq(\lfloor x\rfloor+1)(10\lfloor x\rfloor-14)<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2+2\lfloor x\rfloor+1),\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2-9\lfloor x\rfloor+14)\leq0<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor^2-8\lfloor x\rfloor+15),\\ (\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor-2)(\lfloor x\rfloor-7)\leq0<(\lfloor x\rfloor+1)(\lfloor x\rfloor-3)(\lfloor x\rfloor-5).\end{gathered}\]
Prvá nerovnica má v \(\lfloor x\rfloor\) riešenie \((-\infty,-1\rangle\cup\langle2,7\rangle\), druhá \((-1,3)\cup(5,\infty)\). Prienik týchto riešení je \(\langle2,3)\cup(5,7\rangle\), a teda \(\lfloor x\rfloor\) môže nadobúdať všetky celočíselné hodnoty z týchto intervalov, čo sú \(2\), \(6\) a \(7\). Dosadíme do vyjadrenia pre \(x\) a dostaneme riešenia pôvodnej rovnice \(2\), \(46/7\) a \(7\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.