6. Koho Máta Spln? vzorové riešenie

Pracovať s výrazmi tvaru \(x^3+y^3\) alebo \(1-z^2\) je často náročné. Pomôcť nám vedia rozklady na súčin jednoduchších výrazov. V našom prípade to je \[x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1-z^2=(1-z)(1+z).\] Keď sa na tieto rozklady zapozeráme, môžeme si všimnúť, že môžeme vykrátiť \((x+y)\) z ľavej strany rovnice a \((1-z)\) z pravej strany, lebo podľa zadania platí, že \((x+y)=(1-z)\). Predtým, než sa do toho pustíme, musíme sa zamyslieť, či výraz, ktorým chceme podeliť, nemôže byť nulový. To nastane vtedy, keď \(z=1\) a \(y=-x\). Môžeme si povšimnúť, že ak \(x=-y=k\), kde \(k\) je ľubovoľné celé číslo tak trojica \((x,y,z)=(k,-k,1)\) vyhovuje našej sústave. Ďalej predpokladajme, že \((x+y)\) a \((1-z)\) sú nenulové, a teda ich môžeme z druhej rovnice vykrátiť. Premennú \(z\) si ešte vieme vyjadriť z prvej rovnice ako \(z=1-x-y\), čím po jednoduchých úpravách dostávame \[x^2-xy+y^2=1+z=2+x+y\] \[x^2-xy+y^2+x+y=2.\] Výrazy \(xy\), či \(x\) alebo \(y\) sa môžu s \(x^2\) alebo \(y^2\) vyskytovať v kompaktnejšom tvare ako napríklad \((x-y)^2\), či \((x+1)^2\). Tak poďme si ich tam vyrobiť pomocou trikovej úpravy pozostávajúcej z vynásobenia našej rovnice \(2\) a pričítaním dvojky. Dostaneme, že \[2x^2-2xy+2y^2+2x+2y+2=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2=6.\] Mať túto rovnicu v takomto tvare – súčte druhých mocnín je pre nás výhodné. Druhé mocniny sú nezáporné a keďže riešime túto úlohu v obore celých čísel, tak jednotlivé zátvorky môžu nadobúdať iba zopár hodnôt. Vyplýva to z toho, že jednotlivé členy sú menšie alebo rovné šestke na pravej strane. Zapísať šestku ako súčet troch celočíselných druhých mocnín sa dá práve jediným spôsobom, a to \(6=4+1+1\). Následne nám už len stačí rozobrať jednotlivé prípady, kedy sa ktorý člen rovná \(4\). Vzhľadom na symetriu \(x\) a \(y\) môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že \(x\geq y\). Hodnotu \(z\) následne spätne dopočítame z rovnosti \(z=1-x-y\).

1. \((x-y)^2=4\). Následne \((x+1)^2=1\) aj \((y+1)^2=1\), z čoho dostávame, že \(x\), \(y\) môžu byť buď \(-2\) alebo \(0\). Keďže predpokladáme, že \(x\geq y\) tak dostávame jediné riešenie \((x,y,z)=(0,-2,3)\).

2. \((x+1)^2=4\), čiže \(x\) môže byť \(-3\) alebo \(1\). Ďalej z \((y+1)^2=1\) \(y\) môže byť \(-2\) alebo \(0\) a z \(x\geq y\) a \((x-y)^2=1\) dostávame jediné riešenie \((x,y,z)=(1,0,0)\).

3. \((y+1)^2=4\). Analogicky \(y\) môže byť \(-3\) alebo \(1\) a zároveň z \((x+1)^2=1\) premenná \(x\) môže byť \(-2\) alebo \(0\) a z \(x\geq y\) a \((x-y)^2=1\) dostávame jediné riešenie \((x,y,z)=(-2,-3,6)\)

Aby sme to zhrnuli, všetky vyhovujúce trojice \((x,y,z)\) sú \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((-3,-2,6)\), \((-2,-3,6)\), \((0,-2,3)\), \((-2,0,3)\) a ešte \((k,-k,1)\) kde \(k\) je ľubovoľné celé číslo.