Zadanie
Ježibabku dráždilo, že si turisti chodia obzerať, fotografovať a hlavne objedať jej skromnú chalúpku, preto sa rozhodla použiť zvyšné XXL pelendreky a označiť nimi hranice svojho pozemku. Samozrejme, keďže les prakticky nikomu nepatril, chcela si ohradiť čo najväčšiu plochu.
Ježibabka postavila plot do tvaru lichobežníka s dĺžkami strán \(3\), \(3\), \(3\), \(k\), kde \(k\) je reálne číslo. Aký najväčší obsah môže jej pozemok mať?
Najskôr sa zamyslíme, ktorá zo strán bude mať dĺžku \(k\) a ktoré strany budú mať dĺžku \(3\). Stačí overiť \(2\) prípady:
1. Pokiaľ by obe rovnobežné strany mali dĺžku \(3\), tak lichobežník už nutne musí byť zároveň rovnobežník (dokonca kosoštvorec, keďže má \(3\) rovnako dlhé strany). Jeho výška má veľkosť najviac \(3\), teda najväčší možný obsah je \(3 \cdot 3 = 9\) (tento prípad nastáva, keď je štvoruholník štvorcom).
2. Zostal nám ešte druhý prípad, kedy je strana s dĺžkou \(k\) jednou zo základní lichobežníka. Obe ramená majú veľkosť \(3\), teda lichobežník je rovnoramenný. Potrebujeme si najskôr zrátať výšku lichobežníka. Tú vieme dostať z Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku, ktorého prepona je rameno lichobežníka a výška je jeho odvesna: \(v^2 = 3^2 - \left( \frac{k-3}{2} \right)^2\) (platí aj ak \(k<3\)). Potrebujeme maximalizovať obsah lichobežníka, teda výraz \[S = \frac{(k+3) \cdot v}{2}.\]
Keďže je obsah nezáporný, môžeme maximalizovať \(4S^2\) (robíme to, aby sme vo výraze nemali odmocniny po dosadení za \(v\) a aby sme sa zbavili menovateľa). Dosadíme za výšku a maximalizujeme výraz \[4S^2 = \left(k+3\right)^2\left(9-\left( \frac{k-3}{2} \right)^2\right).\]
Nech \(x = k+3\). Výraz sa upraví na \[\begin{align} 4S^2 &= 9x^2 - \frac{x^2(x-6)^2}{4},\\ 16S^2 &= x^2(36-(x-6)^2),\\ 16S^2 &= 12x^3-x^4.\end{align}\]
Po úpravách sme dostali celkom pekný výraz, ktorý potrebujeme maximalizovať. Čo s tým ďalej? Úplne najjednoduchšie je výraz zderivovať a položiť rovný 0, čím nájdeme všetky lokálne extrémy, overíme ich a jeden z nich bude našim hľadaným \(x\). Môžme ale zvoliť aj viac stredoškolskú cestu. Pokiaľ vieme, pre ktorú hodnotu bude výraz maximálny (tipnúť si tú hodnotu vieme bez dôkazu napríklad pomocou nejakého programu alebo nakreslením funkcie), môžeme to využiť. Tipneme si, že maximum nadobúda výraz pre \(x = 9\) a výraz je vtedy rovný \(3^7\). Stačí teda ukázať, že polynóm \(x^4 - 12x^3 + 3^7\) je vždy nezáporný. Vieme, že \(x = 9\) je koreň polynómu. Rozložíme ďalej polynóm na
\[x^4 - 12x^3 + 3^7 = (x-9)^2(x^2+6x+27).\]
Vidíme, že pravá zátvorka je vždy kladná (\((x-3)^2+18\)), teda aj celý výraz bude nezáporný a nulový bude práve pre \(x = 9\). Preto výraz \(16S^2 = 12x^3-x^4\) nadobúda maximum pre \(x = 9\) a to isté musí preto spĺňať aj výraz \(S\). Preto maximálny je obsah pri \(x = 9\), teda \(k = 6\). Potom už ľahko dopočítame, že obsah bude rovný \(\frac{27\sqrt{3}}{4}.\)
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.