2. Kvadrátmi Meriame Siemensy $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Veľkosti odporu strán trojuholníka si označíme \(a, b, c\). Našou úlohou je zistiť hodnotu súčtu \(a+b+c\). Informácie zo zadanie vieme prepísať ako \(3\) rovnice o \(3\) neznámych: \[\begin{align} a(b+c) &= 96,\\ b(a+c) &= 91,\\ c(a+b) &= 75.\end{align}\] Ľavé strany rovníc si môžeme upraviť na: \[\begin{align} ab+ac &= 96 \tag{1},\\ ab+bc &= 91 \tag{2},\\ ac+bc &= 75 \tag{3}.\end{align}\] Skúsime si vyjadriť hodnotu \(bc\). Najskôr odčítame rovnicu \((2)\) od \((1)\) a dostaneme \[\begin{align} ab+ac-ab-bc &= 96-91, \nonumber\\ ac-bc &= 5. \tag{4}\end{align}\] Teraz môžeme rovnicu \((4)\) odčítať od \((3)\) a dostaneme: \[\begin{align} ac+bc-ac+bc &= 75-5, \nonumber\\ 2bc &= 70, \nonumber\\ bc &= 35. \tag{5}\end{align}\] Dosadením \((5)\) do \((2)\) a \((3)\) získavame \[\begin{align} ab+35 &= 91, \nonumber\\ ac+35 &= 75 ,\nonumber\\ ab &= 56, \tag{6}\\ ac &= 40. \tag{7}\end{align}\]
Teraz si môžeme z rovnice \((6)\) vyjadriť neznámu \(a\) za pomoci \(b\) a následne to dosadiť do \((7)\), z ktorej vieme vyjadriť neznámu \(b\) za pomoci \(c\). \[\begin{align} a &= \frac{56}{b},\nonumber\\ \frac{56c}{b} &= 40,\nonumber\\ \frac{56c}{40} &= b.\tag{8}\end{align}\] A napokon dosadením tejto rovnice do \((5)\) získame hodnotu \(c\) ako \[\begin{align} \frac{56c^2}{40} &= 35,\\ c^2 &= 25,\\ c^2 -25 &= 0,\\ (c+5)(c-5) &= 0.\end{align}\] Vyšlo nám, že buď \(c=5\) alebo \(c=-5\). Zo zadania ale vieme, že odpory sú kladné reálne čísla, čiže zostáva len možnosť \(c=5\). Dosadením do \((5)\) a \((7)\) rovnice získame hodnoty \(a\) a \(b\). \[\begin{align} 5b &= 35,\\ 5a &= 40,\\ b &= 7,\\ a &= 8.\end{align}\] Súčet odporov trojuholníka je \(5+7+8 = \SI{20} {\ohm\squared}\).