3. Klbko Medených Stružlín $\left(\kappa \le 3\right)$ vzorové riešenie

Úpravou zadaných podmienok sa pokúsime nájsť iné výrazy, ktoré sú násobkom \(n\) a mohli by nám o hľadaných dvojiciach povedať viac. Vieme, že \[(k+1)^2+1 = k^2+2k+2.\]

Ak zo zadania je zároveň násobkom \(n\) aj \(k^2+1\), tak potom aj ich rozdiel a súčet sú násobkom \(n\). Vynásobením týchto výrazov (či už číslom alebo sebou samým) zachováme, že ide o násobky \(n\). Dostávame tak \[\begin{align} n &\mid (k^2+2k+2)-(k^2+1), & n &\mid (k^2+2k+2)+(k^2+1),\\ n &\mid 2k+1, & n &\mid 2k^2+2k+3, \\ n &\mid (2k+1)(2k+1), & n&\mid 2(2k^2+2k+3), \\ n &\mid 4k^2+4k+1, & n &\mid 4k^2+4k+6.\end{align}\]

Výsledné dva výrazy, ktoré sú násobkami \(n\) a líšia sa o \(5\). Vieme teda, že \(n \mid 5\). A keďže \(5\) je prvočíslo, teda deliteľné iba sebou a jednotkou, už sú len dve možnosti.

Ak \(n=1\), riešením môžu byť všetky \(k\), pretože akýkoľvek výraz z nich bude deliteľný \(1\).

Ak \(n=5\), vieme napríklad, že musí platiť \(5 \mid 2k+1\). Zapíšme \(k=5l+x\), kde \(l\) bude ľubovoľné nezáporné celé číslo a \(x\) bude z množiny \(\begingroup\{ 0,1,2,3,4\}\endgroup\), teda zvyšok čísla \(k\) po delení piatimi. Potom v deliteľnosti \(5 \mid 2(5l+x)+1=10l+2x+1\) môžeme hneď člen \(10l\) škrtnúť, lebo je násobkom \(5\), a teda na \(l\) nezáleží – stačí, aby \(2x+1\) bolo deliteľné \(5\). To bude splnené iba v prípade, že \(k\) bude mať správny zvyšok po delení \(5\).

Po rýchlom vyskúšaní zisťujeme, že jediné vyhovujúce je \(x=2\), teda riešeniami by mohli byť dvojice \(n=5,k=5l+2\) pre všetky nezáporné \(l\). Už si len dosadením treba overiť, či to tak vždy platí. Dostaneme \[5 \mid (5l+2)^2+1=25l^2+20l+5, \quad 5 \mid (5l+2+1)^2+1=25l^2+30l+10.\]

Tu vidíme že oba výrazy zo zadania po dosadení a úprave majú všetky členy deliteľné piatimi.

Odpovede preto sú \(n=1, k \in \mathbb{N}\) a \(n=5, k=5l+2\) pre \(l \in \mathbb{N}_0\).