Zadanie
A cisár Michal riekol: „Metod, si človek bystrý a vzdelaný, bež ta, niekde severne od Solúna, spravovať slovanské kniežatstvo.“ A Metod sa tam vybral. Za svojej vlády sa však stretol s množstvom zmätkov a chaosu a pochopil, že nechce svoju dušu zmáčať v tejto svetskej temnote. Preto pri prvej príležitosti zdúchol. Vybral sa do kláštora na Olympe, kde sa s vervou oddával mníšskym radostiam a štúdiu.
Študoval napríklad \(4\)-ciferné čísla \(A=\overline{2X83}, \ B=\overline{19Y6}, \ C=\overline{29X6}, \ D=\overline{1Y54}\).1 Určte všetky dvojice cifier \((X,Y)\) tak, aby čísla \(A+B\) a \(C-D\) boli obe deliteľné deviatimi.
\(\overline{2X83}\) značí číslo zložené z cifier \(2, X, 8, 3\) v danom poradí.↩
Ako prvé si všimnime, že jednotlivé čísla si vieme napísať ako \(A = 2083 + 100X,\, B = 1906 + 10Y,\, C = 2906 + 10X,\, D = 1054 + 100Y\). Takýto zápis nám zjednoduší prácu s \(X\) a \(Y\). Čísla, ktoré majú byť násobkami \(9\) sú teraz v tvaroch \[\begin{align} A + B &= 3989 + 100X + 10Y,\\ C - D &= 1852 + 10X - 100Y.\end{align}\]
Ako máme teda zvoliť \(X\) a \(Y\), aby sme dostali násobky \(9\)? Keď sa pozrieme na zvyšky po delení, zistíme, že \(A+B\) dáva zvyšok \(2 + 100X + 10Y\), kým \(C-D\) dáva \(7 + 10X - 100Y\). Ďalšie zjednodušenie príde, keď si všimneme, že \(100X = 99X + X\), takže \(100X\) má zvyšok \(X\) po delení \(9\). Podobne zistíme aj, že \(10Y\) má zvyšok \(Y\) (\(10Y = 9Y + Y\)), \(10X\) má zvyšok \(X\) a \(100Y\) má zvyšok \(Y\). Tým dostaneme podmienku zo zadaniu upravenú do ekvivalentného tvaru, že \(2 + X + Y\) a \(7 + X - Y\) sú násobky \(9\).
Teraz vieme využiť, že \(X\) a \(Y\) sú cifry. V takom prípade je \(2+X+Y\) najmenej \(2\) a najviac \(20\), z čoho iba \(9\) a \(18\) sú násobky \(9\). Takže \(X + Y = 7\) alebo \(X + Y = 16\). Výraz \(7+X-Y\) je najmenej \(-2\) a najviac \(16\), pričom násobky \(9\) sú len \(0\) a \(9\). Teda navyše musí platiť, že \(X-Y=-7\) alebo \(X-Y=2\).
Ďalej máme dve možnosti, ako postupovať. V prvej vypočítame jednotlivé sústavy rovníc. Vieme, že buď \(X = Y-7\) alebo \(X = Y+2\). Keď dosadíme prvú možnosť do rovníc pre \(X+Y\) dostaneme \(Y-7+Y = 7\), odkiaľ poľahky dopočítame \(Y = 7\), takže \(X = 7-7 = 0\). Z druhej rovnice pre \(X+Y\) by sme dostali \(Y-7+Y=16\), odkiaľ nám vyjde \(Y = 11{,}5\), čo nie je celé číslo. Naopak dosadením \(X = Y+2\) nám vyjde v prípade \(X+Y=7\), že \(Y = 2{,}5\), čo nevyhovuje, v prípade \(X+Y=16\) dostaneme \(Y = 7\) a teda \(X = 9\).
Druhá možnosť postupu je všimnúť si, že ak sú čísla \(2+X+Y\) a \(7+X-Y\) násobky \(9\), tak je aj ich súčet násobkom \(9\). To znamená, že vyhovovať budú len tie \(X\) a \(Y\), pre ktoré je \[(2+X+Y) + (7+X-Y) = 9 + 2X\] násobkom \(9\). Odtiaľ už ľahko vidíme, že \(X = 0\) alebo \(X = 9\). Z rovníc potom vypočítame už len \(Y = 7 - X\) alebo \(Y = 16 - X\). Pre \(X = 0\) dostaneme buď \(Y = 7\) alebo \(Y = 16\), pre \(X = 9\) dostaneme \(Y = -2\) alebo \(Y = 7\). V oboch prípadoch je cifra len \(7\), takže to bude náš \(Y\). Mali by sme ešte overiť, že spĺňame rovnice pre rozdiel. Ľahko vidíme, že \(0 - 7 = -7\) a \(9 - 7 = 2\).
Odpoveď: Správne dvojice \((X, Y)\) sú \((0, 7)\) a \((9, 7)\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.