Zadanie
Udýchaný Konštantín sa dostal na tretie poschodie, kde stretol svoju vyvolenú. „Aké jest meno tvoje, láska srdca môjho?“ opýtal sa Konštantín. Sofia povedala „Sofia, to jest múdrosť.“ Konštantín k nej natiahol ruku, nežne ju pohladil po tvári a pobozkal ju na pery. Vtom sa rozozvučal anjelsky chorál, Konštantína oslepilo nekonečné svetlo božskej žiary a v jeho rukách sa Sofia premenila na Knihu múdrosti. Konštantín pochopil toto božské znamenie. A tak sa pustil do štúdia Homéra, dialektiky, náuky filozofickej, rétoriky, aritmetiky, astronómie, muziky, astrológie, teológie, germanistiky, lingvistiky, indológie, práva, alchýmie, histológie, mechaniky, astrofyziky, botaniky, logopédie, fyziológie, politológie, kaligrafie, robotiky, kybernetiky, didaktiky, herectva, analýzy, aerodynamiky, akustiky, kognitívnej psychológie, genetiky, teatrológie, surdopédie, syntaxy, algebry, endokrinológie, futurológie, ikonografie, chirurgie, byzantológie, bohemistiky, sexuológie, slovakológie, ekológie, klimatológie, oológie, mineralógie, ekonómie, pedológie I., pedológie II., ufológie, ...
... a geometrie. Majme všeobecný trojuholník \(ABC\) s plochou \(x\). V každom kroku môžeme presunúť iba jeden bod (ostatné 2 ostávajú na svojom mieste) tak, že obsah trojuholníka sa nezmení. Vieme postupnosťou týchto krokov presunúť vrcholy nášho trojuholníka do ľubovolnej trojice bodov \(D, E, F\) takej, že obsah trojuholníka \(DEF\) je \(x\)?
Povedzme, že chceme presunúť bod \(A\) do bodu \(D\), \(B\) do \(E\) a \(C\) do \(F\). Ukážeme si, že sa to dá.
Ako prvé sa zamyslime, čo za operáciu to môžeme v každom kroku spraviť. Povedzme, že v trojuholníku \(ABC\) chceme presunúť bod \(A\). Kam ho vieme dostať? Známy vzorček na výpočet obsahu trojuholníka nám povie, že aby sa nezmenil obsah, nemôže sa zmeniť ani výška na stranu \(BC\). Teda bod \(A\) vieme presunúť kamkoľvek na jednu z priamok rovnobežných s \(BC\), ktoré sú rovnako vzdialené od \(BC\) ako bod \(A\) (na obrázku modrou).
Naše pozorovanie by sme teraz chceli využiť na to, aby sme (v niekoľkých krokoch) premiestnili bod \(A\) do bodu \(D\). Ak je bod \(D\) rovnako vzdialený od \(BC\) ako bod \(A\), tak je to jednoduché, stačí nám jedno presunutie. Ak to tak ale nie je, upravíme si najskôr vhodne stranu \(BC\). Najjednoduchšie to asi bude spraviť tak, aby bola rovnobežná s priamkou \(AD\). To môžeme zrealizovať napríklad tak, že bod \(B\) presunieme po rovnobežke s \(AC\), aby platilo \(BC \parallel AD\). Teraz už ľahko presunieme \(A\) na \(D\).
Zamyslime sa ale ešte, či tento postup môže niekedy zlyhať. Zlyhal by iba ak by sme nevedeli \(B\) presunúť tak, aby \(BC \parallel AD\). Rozmyslite si, že to nastáva práve vtedy, keď \(AC \parallel AD\), čiže keď body \(A\), \(C\) a \(D\) ležia na jednej priamke. V takom prípade najskôr presunieme bod \(A\) kamkoľvek mimo priamky \(CD\). To určite vždy ide, keďže priamka \(AC\) (totožná s priamkou \(CD\)) je vždy rôznobežná s priamkou \(BC\) (lebo \(ABC\) je trojuholník). Následne už môžeme presunúť bod \(B\).
Úspešne sme sa teda dostali do stavu, že bod \(A\) je v bode \(D\) a ideálne by sme ním už nechceli hýbať. Skúsme teraz presunúť \(B\) do \(E\). Spravíme to veľmi podobne ako pri presúvaní \(A\) do \(D\). Ak to ide hneď, super. Ak nie, najskôr sa uistíme, že bod \(B\) neleží na priamke \(AE\) (ak leží, tak ho presunieme inam) a potom presunieme bod \(C\) tak, aby platilo \(AC \parallel BE\). Nakoniec presunieme \(B\) do \(E\).
Máme teda \(A=D\) a \(B=E\), a keďže trojuholníky \(ABC\) a \(DEF\) majú rovnaký obsah, tak už určite vieme presunúť bod \(C\) do \(F\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.