4. Kresťania Majstrami Sveta $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Časť \(1\)

Pri dokazovaní nerovností je vždy potrebné vhodne odhadnúť zdola či zhora jej aktérov. Zoberme si preto \(k\)-ciferné číslo \(n=\overline{c_{k}\dots c_2c_1}\). Jeho ciferný súčin je potom rovný \(a(n)=c_{k}c_{k-1}\cdots c_2c_1\). Keďže \(c_1, c_2, \dots c_{k}\) sú cifry, tak vieme o nich, že sú nanajvýš rovné \(9\). Teda vieme zhora odhadnúť \(a(n)\leq 9^k\). Nám sa avšak zíde trochu lepší odhad ciferného súčinu a to \(a(n)\leq 9^{k-1}c_{k}\), lebo si vieme povšimnúť, že platí \(n\geq 10^{k-1}c_{k}\) (zaokrúhlili sme číslo \(n\), aby malo až na jednu cifru všetky ostatné \(0\)), čím sme \(n\) odhadli zdola. Takýto odhad sa nám zíde, keďže triviálne platí pre kladné celé čísla \(k\), že \(10^{k-1} c_{k}\geq 9^{k-1} c_{k}\). Ak dáme všetky spomenuté odhady dokopy, dostávame \[n\geq 10^{k-1}c_{k}\geq 9^{k-1}c_{k}\geq a(n),\] čo je presne to, čo sme chceli dokázať.

Časť \(2\)

Keďže ciferný súčin čísla nám veľa o hodnote samotného čísla nepovie (napr. \(a(10003)<a(5)\)) tak sa nám ponúka využiť odhad z časti \(1\), ktorý nám dá nerovnosť \[n^2-17n+56=a(n)\leq n.\] Túto nerovnosť si vieme ľahko nasledovne upraviť na súčinový tvar \(n^2-18n+56=(n-4)(n-14)\leq 0,\) z ktorého vidíme, že ju spĺňajú čísla z intervalu \(\langle 4, 14 \rangle\). Keďže riešime nad kladnými celými číslami, stačí nám už len overiť, ktoré z kladných celých riešení nerovnosti je riešením aj pôvodnej rovnice. Urýchliť toto skúšanie nám pomôžu pozorovania, že pre jednociferné čísla od \(4\) po \(9\) je \(a(n)=n\), čím získame rovnicu \(n^2-17n+56=n\), ktorej vyhovujú práve \(4\) a \(14\), pričom práve \(4\) je jednociferné vo vyšetrovanom intervale. Pre skúmané dvojciferné čísla od \(10\) po \(14\) platí \(a(n)=n-10\) (ciferný súčin sa rovná cifre na mieste jednotiek, lebo cifra na mieste desiatok je 1), čo nám dá rovnicu \(n^2-17n+56=n-10\), ktorá avšak nemá celočíselné riešenie. Jediným riešením je \(n=4\).