Zadanie
Zakrátko knieža Rastislav vyslal za cisárom Michalom poslov so správou: „My Slovieni však sme ľud prostý a nemáme toho, kto by nás viedol k pravde a jej zmysel nám vyložil. Nuž, vznešený/-á pane/pani, pošlite takého muža/ženu (nehodiace sa preškrtnite), ktorý/-á nám zariadi všecku spravodlivosť.“ Cisár Michal povedal Konštantínovi, ktorý sa práve vrátil z Chersonu so zlatou medailou na krku: „Čuješ, filozof, čo vraví? Iný to nemôže vykonať, leda ty. Hľa, tu máš hojné dary, vezmi si svojho brata Metoda a bež. Vy obaja ste Solúňanci a Solúňanci všetci hovoria čisto slovansky.“
Potom sa Konštantínovi zjavil Boh a riekol: „Budiž \(a\) a \(k\) celé kladné čísla také, že \(a^2+k\) deliace súčin \((a-1)\cdot a \cdot (a+1)\) jest. Dokážte, že \(k \geq a\).“
Konštantín s Metodom sa neodvažovali oponovať ani Bohu, ani cisárovi a vybrali sa na Veľkú Moravu.
Keď si roznásobíme uvedený súčin, vyjde z neho celkom pekný výraz \((a-1)\cdot a \cdot (a+1) = a^3 - a\). Ďalej sa chceme zbaviť vysokých mocnín, a keďže vieme, že \(a^2+k \mid a(a^2+k) = a^3 + ak\), môžeme od seba pravé strany odčítať a ľavá strana bude stále deliť ich rozdiel. Máme tak \[a^2+k \mid a^3 + ak - (a^3 - a) = ak + a = a(k+1).\]
Na oboch stranách deliteľnosti máme zrejme kladné čísla. Keď jedno kladné číslo delí druhé, tak musí byť menšie alebo rovné (väčšie číslo nemôže deliť menšie)1. Preto máme \[\begin{align} a^2 + k &\leq ak + a, \\ a^2-a &\leq ak - k,\\ a(a-1) &\leq k(a-1).\end{align}\]
Ak \(a = 1\), tak dokazované tvrdenie \(k \geq a\) plynie rovno z toho, že \(k\) je celé kladné číslo. V opačnom prípade \(a>2\) (tiež kladné celé), čiže môžeme vydeliť výrazom \((a-1)\) a nerovnosť sa zachová: \(a \leq k\). Ale to už je presne to, čo sme chceli dokázať, a úloha je týmto hotová.
Iné riešenie
Ak \(a=1\), pre všetky prirodzené \(k\) platí \(k \geq 1\), ako sme popísali vyššie. Ďalej nech \(a \geq 2\) je ľubovoľné, ale ďalej pevné prirodzené číslo. Pre \(k = a\) platí \[\frac{(a-1)a(a+1)}{a^2 + k} = \frac{(a-1)a(a+1)}{a^2 + a} = \frac{(a-1)a(a+1)}{a(a+1)} = a-1.\] Pre \(k=-1\) (síce je mimo definičného oboru \(k\) zo zadania, ale vyhodnotiť výraz môžeme) platí \[\frac{(a-1)a(a+1)}{a^2 + k} = \frac{(a-1)a(a+1)}{a^2 + (-1)} = \frac{(a-1)a(a+1)}{(a-1)(a+1)} = a.\] Teda \(a^2 + a\) aj \(a^2 - 1\) sú delitele \((a-1)a(a+1)\) pre všetky \(a \geq 2\).
Ak by mal byť \(a^2 + k\) deliteľ výrazu \((a-1)a(a+1)\) pre nejaké \(0 < k < a\), musel by byť podiel niekde medzi \(a-1\) a \(a\). Keďže delenec (čitateľ) máme pevný, tak podiel musí byť väčší ako pre \(a^2 + a\) (delíme \(a^2 + k\), čo je menšie číslo) a menší ako pre \(a^2 - 1\) (delíme \(a^2 + k\), čiže väčším číslom). V tomto intervale od \(a-1\) do \(a\) však neleží žiadne celé číslo, a preto pre \(0 < k < a\) nemôže \(a^2 + k\) deliť \((a-1)a(a+1)\) bezo zvyšku.
Keby sme pripúšťali záporné čísla, vedeli by sme povedať, že absolútna hodnota prvého je menšia alebo rovná absolútnej hodnote druhého. Aj to len v prípade, že druhé číslo nie je nula, pretože nulu delí všetko.↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.