8. Koštantujeme Múdre Slová vzorové riešenie

Konštantínova úspešnosť argumentov je v každom momente vždy v tvare \(\frac{a}{b}\), kde \(a\) je celé nezáporné číslo, vyjadrujúce počet úspešných argumentov a \(b\) je celé kladné číslo, vyjadrujúce počet všetkých argumentov. Teda Konštantínova úspešnosť argumentov je vždy racionálna, čiže všetky iracionálne \(p\) sú nevyhovujúce.

Teraz sa pozrime na \(p\) v tvare \(\frac{k}{l}\), kde \(k\), \(l\) sú kladné celé nesúdeliteľné čísla. Keďže použitím niekoľkých argumentov sa Konštantín z úspešnosti menšej ako \(p\) dostal na hodnotu väčšiu ako \(p\), vieme, že existuje aspoň jeden argument (zjavne úspešný), pred ktorým bola Konštantínova úspešnosť menšia alebo rovná \(p\) a po jeho použití bola jeho úspešnosť väčšia alebo rovná ako \(p\). Môžeme to teda zapísať ako \[\frac{a}{b} \leq \frac{k}{l} \leq \frac{a+1}{b+1}.\]

Ak sa pozrieme na jednotlivé nerovnosti samostatne, dostávame \[\begin{align} \frac{a}{b} & \leq \frac{k}{l}, & \frac{k}{l} & \leq \frac{a+1}{b+1}, \\ al & \leq bk, & (b+1)k & \leq (a+1)l,\\ al-ak & \leq bk-ak, & (b+1)k-(a+1)k & \leq (a+1)l-(a+1)k,\\ a(l-k) & \leq (b-a)k, & (b-a)k & \leq (a+1)(l-k).\end{align}\]

Keď naše dve výsledné nerovnosti spojíme dohromady, dostávame \[a(l-k) \leq (b-a)k \leq (a+1)(l-k).\]

Tu si môžeme všimnúť, že ak by \(l-k=1\), tak \(a \cdot 1\) a \((a+1) \cdot 1\) sú dve po sebe idúce čísla. V jednej z nerovností musí teda nastávať rovnosť, keďže \((b-a)k\) je celé kladné, a teda sa nevie „zmestiť“ medzi dve po sebe idúce celé kladné čísla. Spätne to znamená, že Konštantínova pravdepodobnosť sa buď pred alebo po použití skúmaného argumentu presne rovnala \(p\).

Teraz sa pozrime na prípad \(l-k \neq 1\). V tomto prípade existuje \(l-k-1\) kladných celých čísel medzi číslami \(a(l-k)\) a \((a+1)(l-k)\), teda určite platí nerovnosť \[a(l-k)<a(l-k)+1<(a+1)(l-k).\]

Ak by platilo, že existujú nejaké \(a\), \(b\), pre ktoré by platila rovnosť \(a(l-k)+1=(b-a)k\), tak potom existuje taká počiatočná úspešnosť argumentov, ktorá nikdy nenadobudne hodnotu \(p\). Skúsme si teda túto rovnosť upraviť. \[\begin{align} a(l-k)+1&=(b-a)k,\\ al-ak+1&=bk-ak,\\ bk-al&=1.\end{align}\]

Keďže \(k\) a \(l\) sú nesúdeliteľné, z Bézoutovej rovnosti vyplýva, že existujú také celé čísla \(a_{0}\) a \(b_{0}\), ktoré spĺňajú danú rovnosť. Avšak \(a_{0}\), \(b_{0}\) nám nemusia vyjsť kladné. Ak si však \(a\), \(b\) postupne nahradíme \(a_{0}+nk\), \(b_{0}+nl\) a \(n\) zvolíme dostatočne veľké, tak aby \(a_{0}+nk\) aj \(b_{0}+nl\) boli kladné, dostávame rovnosť \[(b_{0}+nl)k-(a_{0}+nk)l=b_{0}k+nlk-a_{0}l-nlk=b_{0}k-a_{0}l=1,\] teda aj \(a_{0}+nk\) a \(b_{0}+nl\) spĺňajú rovnosť. Preto pre nejaké kladné celé \(a\), \(b\) platí aj pôvodná rovnosť, keďže sme robili len ekvivalentné úpravy.

Teda Konštantínova úspešnosť argumentov musela niekedy nadobudnúť hodnotu \(p\) práve vtedy, keď \(p=\frac{k}{k+1}\).