9. Kláštor Miesto Smrti vzorové riešenie

Ukážeme si viacero rôznych riešení, lebo v každom je nejaká zaujímavá myšlienka iná od tých ostatných. Na začiatok predpokladajme, že všetky \(a_n\) sú celé čísla a poďme zistiť, aký najmenší môže byť súčet \(a_1 + a_2\).

Riešenie cez algebru

Vyjadrime si pomocou zadania \(a_{n+3}\) a dosaďme hodnotu \(a_{n+2}\): \[a_{n+3} = \frac{a_{n+1} + 2024}{\frac{a_n + 2024}{a_{n+1} + 1} + 1} = \frac{(a_{n+1} + 1)(a_{n+1} + 2024)}{a_n + a_{n+1} + 2025} = a_{n+1} + 1 - \frac{(a_n + 1)(a_{n+1} + 1)}{a_n + a_{n+1} + 2025}.\]

Posledná úprava je celkom triková, ale vlastne robíme niečo podobné ako pri delení so zvyškom – chceme zlomok vyjadriť ako celé číslo plus nejaký zlomok s menším čitateľom. Keďže sme v prirodzených číslach, zlomok musí mať hodnotu aspoň \(1\), teda \(a_{n+3}\leq a_{n+1}\).

Členy \(a_2, a_4, a_6, \dots\) teda tvoria nerastúcu postupnosť, a keďže sme v prirodzených číslach, musí byť od nejakého bodu konštantná, teda ten zlomok musí mať od nejakého \(n\) hodnotu stále \(1\). Vtedy platí \((a_n + 1)(a_{n+1} + 1) = a_n + a_{n+1} + 2025,\) čo vieme upraviť na \(a_na_{n+1} = 2024\).

Nás ale zaujímajú členy na začiatku, tak čo s tým? Keď už poznáme \(a_n\) a \(a_{n+1}\), vieme si z nich vyjadriť \[a_{n-1}=a_na_{n+1} + a_{n+1} - 2024 = a_{n+1},\] teda postupnosť celá vyzerá tak, že sa v nej striedajú \(a_1\) a \(a_2\).

Koľko najmenej teda môže byť \(a_1 + a_2\)? Buď rozpísaním si deliteľov \(2024\) alebo pomocou AG-nerovnosti ľahko zistíme, že najmenší súčet dostávame pri \(a_1 = 44\) a \(a_2 = 46\) (alebo naopak) a to \(90\), a máme aj konštrukciu.

Riešenie cez teóriu čísel

Keďže \(a_{n+2}\) má byť celé, musí \(a_{n+1} + 1\mid a_n + 2024\). Zároveň si ale vieme vyjadriť \[a_{n+1} + 1 = \frac{a_{n-1} + 2024}{a_n + 1} + 1 = \frac{a_{n-1} + a_n + 2025}{a_n + 1},\] teda platí \(a_{n+1} + 1\mid a_{n-1} + a_n + 2025\). Odčítaním týchto dvoch deliteľností dostaneme \(a_{n+1} + 1\mid a_{n-1} + 1\). Keďže sme v prirodzených číslach, deliteľnosť znamená nerovnosť, teda \(a_{n+1}\leq a_{n-1}\).

Postupnosť \(a_1, a_3, a_5, \dots\) je teda nerastúca, preto je od nejakého bodu konštantná. Potom platí \[a_n = a_{n+2} = \frac{a_n + 2024}{a_{n+1} + 1},\] z čoho dostaneme \(a_na_{n+1} = 2024\). Potom už riešenie dokončíme rovnako ako to predchádzajúce.

Riešenie cez kombinatoriku

Dokážeme najprv, že postupnosť je ohraničená (zhora; zdola je to zrejmé, keďže sú to prirodzené čísla). Ak je v postupnosti ľubovoľný prvok \(a_n > 2024\), potom \(a_{n+2}\) je najviac \(\frac{a_n + 2024}{1 + 1} < a_n\). Pre prvok \(a_n \leq 2024\) analogicky platí \(a_{n+2} \leq 2024\). Postupnosť teda vieme ohraničiť \(2024\) alebo prvým väčším prvkom na párnych alebo nepárnych indexoch.

V postupnosti teda môže byť len konečne veľa hodnôt, čiže aj konečne veľa rôznych po sebe idúcich dvojíc. Od nejakého bodu sa teda postupnosť začne opakovať. Navyše, keďže z dvoch členov vieme jednoznačne povedať predchádzajúci (zo zadania si vyjadríme \(a_n\)), musí sa začať opakovať od začiatku, inak by pred bodom, kde sa začne opakovať, boli dve rôzne hodnoty. Postupnosť teda tvorí jeden cyklus.

Preto od nejakého indexu \(t\) platí, že \(a_1 = a_{t+1}, a_2 = a_{t+2}, \dots\). Keďže postupnosť je cyklus, nezáleží, kde začíname, môžeme teda BUNV predpokladať, že pre nejaký cyklus si vyberieme taký začiatok \(a_1, a_2\), aby ich súčet bol čo najmenší. Bude teda nanajvýš taký ako súčet \(a_t + a_{t+1} = a_t + a_1\), teda \(a_2\leq a_t\). Zo zadania si vyjadríme \[a_2 = \frac{a_t + 2024}{a_1 + 1}\geq \frac{a_2 + 2024}{a_1 + 1}.\]

Z toho potom dostaneme \(a_1a_2\geq 2024\). Nás ale zaujíma súčet, použijeme teda AG-nerovnosť: \[\begin{align} \frac{a_1 + a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2}&\geq \sqrt{2024},\\ a_1 + a_2&\geq 2\sqrt{2024}.\end{align}\] No a najbližšie väčšie celé číslo je \(2\sqrt{2025} = 90\), konštrukciu spravíme rovnako ako v predošlých dvoch riešeniach.