Zadanie
Milý denníček,
pamätáš sa na ten košiar, ktorý podával tú lahodnú jahňacinku... Ten sviniar Dunčo sa vrátil z dovolenky a hneď je to iná pesnička. Ani som sa usadiť nestihol a už ma hnal. Od hladu neviem ani zaspať. Skúšal som počítať ovečky, ale myslím, že to môj problém len zhoršilo.
Napočítal som \(o\) oviec, \(b\) baranov a \(j\) jahniatok, pričom \(o\), \(b\), \(j\) sú celé (možno aj záporné) čísla. Navyše platí, že \(o^2+b^2+j^2 = 2bj+1\) a tiež \(2o+b+j=2024\). Určte všetky možné trojice \((o, b, j)\), ku ktorým som sa mohol dopočítať.
Najskôr si skúsime upraviť prvú rovnicu zo zadania. Rýchlo si všimneme, že vieme využiť známy vzorec \((a+b)^2\). \[\begin{align}
o^2+b^2+j^2 &= 2bj+1, \\
o^2+b^2-2bj+j^2 &= 1, \\
o^2 + (b-j)^2 &= 1. \end{align}\] Vieme, že čísla umocnené na párnu mocninu sú vždy nezáporné, a preto jediná možnosť ako získať súčet \(1\) z dvoch celých nezáporných čísel je, ak jedno z nich je \(1\) a druhé \(0\).
To nám dáva niekoľko možností, ktoré postupne budeme dosadzovať do druhej rovnice zo zadania.
\(o^2=1\) a \((b-j)^2=0\). To znamená, že \(o=\pm 1\) a \(b-j=0\), t.j. \(b=j\).
\(o=1\) a \(b=j\). Dosadením do druhej rovnice zo zadania dostaneme \[\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \\ 2\cdot1 + j + j &= 2024, \\ 2j &= 2022, \\ j&=1011, \\ b&=1011. \end{align}\] Jedno riešenie bude teda \(o=1\), \(j=1011\) a \(b=1011\).
\(o=-1\) a \(b=j\). Dosadíme do druhej rovnice zo zadania a dostávame \[\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \\ 2\cdot(-1) +j +j &= 2024, \\ 2j &= 2026, \\ j&=1013, \\ b&=1013. \end{align}\] Ďalšie riešenie bude teda \(o=-1\), \(j=1013\) a \(b=1013\).
\(o^2=0\) a \((b-j)^2=1\) To znamená, že \(o=0\) a \(b-j=\pm 1\). Druhú rovnicu si upravíme odčítaním \(2j\) a pozrieme sa na paritu rovnice po dosadení známych hodnôt. \[\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \\ 2\cdot0 + b - j &= 2024-2j,\\ b - j &= 2024-2j,\\ \pm 1 &= 2(1012-j).\end{align}\] Vidíme, že ľavá strana rovnice má nepárnu hodnotu, zatiaľčo tá pravá má párnu hodnotu, a preto pre tento prípad neexistuje žiadne riešenie.
Táto úloha má \(2\) riešenia: \(o=1\), \(j=1011\), \(b=1011\) a \(o=-1\), \(j=1013\), \(b=1013\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.