Zadanie
Milý denníček,
dnes som teda bol na tej operácii na zmenu hlasu. Z katalógu som si vybral „Hlas mamičky kozy“.
Hlasivky majú tvar ostrouhlého trojuholníka. Kozliatka dokážu z hlasu určiť uhly tohoto trojuholníka, pričom vedia, že ich mama nemá ani pravouhlé, ani rovnoramenné hlasivky. Aby mali istotu, využívajú bezpečnostné číslo \(b \geq 0\), ktorým sa riadia nasledovne:
Ak sa niektoré dva uhly trojuholníka líšia o menej ako \(b\) stupňov, tak ho považujú za rovnoramenný.
Ak sa niektorý uhol trojuholníka líši od pravého uhla o menej ako \(b\) stupňov, tak ho považujú za pravouhlý.
Určte, aké najväčšie môže byť \(b\), aby existoval ostrouhlý trojuholník, ktorý nepovažujú ani za pravouhlý, ani za rovnoramenný.
Išlo to hladko, ale dnes sa musím šetriť, takže za kozliatkami pôjdem až zajtra.
Skúsme sa na začiatok zamyslieť a „tipnúť“ si riešenie. Keďže hľadaný trojuholník je ostrouhlý, všetky jeho uhly budú ostré. Zároveň priemerný uhol má \(60^\circ\). Povedzme, že jeden z uhlov by mal \(60^\circ\), potom by z ostatných dvoch bol jeden väčší ako \(60^\circ\) a druhý menší ako \(60^\circ\). Zároveň však musia byť oba menšie ako \(90^\circ\). Teda ten väčší má hodnotu niečo medzí \(60^\circ\) a \(90^\circ\). Zoberme si teda ich priemer, čo je \(75^\circ\). Uhly v tomto trojuholníku sú teda \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(75^\circ\). Z tohto vieme vyvodiť, že ak \(b=15\), tak taký trojuholník existuje.
Keďže hľadaný trojuholník je ostrouhlý, tak sú všetky jeho uhly ostré. Rovnako vieme, že najväčší uhol sa musí od líšiť aspoň o \(b\) od pravého uhla, teda môže byť najviac \(90^\circ-b\). Rovnako sa druhý najväčší musí od prvého najväčšieho líšiť aspoň o \(b\), čiže bude najviac \(90^\circ-2b\). Analogicky tretí bude najviac \(90^\circ-3b\). Súčet všetkých uhlov potom bude najviac \(90^\circ-b + 90^\circ-2b + 90^\circ-3b = 270^\circ-6b\). Máme teda, že \(180^\circ\leq 270^\circ-6b\). Po úprave dostávame \(6b\leq90^\circ\) a následne \(b\leq 15^\circ\), teda \(b\) vie byť najviac \(15^\circ\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.