Zadanie
Milý denníček,
už piaty deň som nejedol. Dnes som stretol v lese také dievča v červenej čiapočke. Keď ma zbadala, vzala nohy na ramená. Netušil som, že ľudia sú až takí ohybní. Za normálnych okolností by som ju aj tak zožral, ale po dvoch operáciách som sa na naháňačku úplne necítil. Našťastie, po dievčine zostal košík s jedlom a pohľadnicou.
Pohľadnica mala tvar lichobežníka \(ABCD\) s priesečníkom uhlopriečok \(E\), pričom platí \(|BC|=|CD|=|DA|\). Bod \(S\) je stred kružnice opísanej lichobežníku \(ABCD\), bod \(Q\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(ABE\). Dokážte, že trojuholníky \(DSC\) a \(AQE\) sú podobné.
Z pohľadnice som sa dozvedel, že dievčina má babičku, ktorá býva sama. To by mohla byť ľahko uloviteľná potrava.
Ako to pri geometrii býva, je viac správnych dôkazov. Napríklad s využitím obvodových uhlov sa dá riešenie dosť skrátiť. My ukážeme, že sú to rovnoramenné trojuholníky s rovnakým uhlom oproti základni, teda podobné podľa vety \(SUS\).
Keďže \(Q\) je stred kružnice opísanej \(ABE\), platí \(QA=QE\). Podobne, \(S\) je stred kružnice opísanej \(ABCD\), teda \(SC=SD\). Z toho zrejme platí \(\frac{|QA|}{|SD|}=\frac{|QE|}{|SC|}\). Stačí už len ukázať \(|\sphericalangle AQE|=|\sphericalangle DSC|\).
Keďže \(ABCD\) je rovnoramenný, jeho základne majú spoločnú os. Z definície bodov \(S\) a \(Q\) ako stredov opísaných kružníc platí, že ležia na tejto osi. Trojuholníky \(ABD\) a \(BAC\) sú zhodné podľa \(SUS\) (\(|AD|=|BC|\), \(AB\) je spoločná, \(|\sphericalangle ABC|= |\sphericalangle BAD|\) sú zhodné uhly pri základni rovnoramenného lichobežníka). Preto sú zhodné aj uhly \(BAC\) a \(ABD\), čo znamená, že trojuholník \(ABE\) je rovnoramenný, a teda aj bod \(E\) leží na osi \(AB\), teda aj na osi \(CD\).
Označme \(F\) stred strany \(CD\). Keďže trojuholník \(DSC\) je rovnoramenný, platí \(|\sphericalangle DSF|=|\sphericalangle FSD|\). V trojuholníku \(AQE\) je os uhla \(AQE\) aj osou strany \(AE\). Označme \(P\) stred strany \(AE\). Stačí nám potom ukázať, že \(|\sphericalangle PQE|=|\sphericalangle FSD|\).
Bod \(S\) je stred kružnice opísanej lichobežníku \(ABCD\), teda aj trojuholníku \(ADC\), leží teda na osi \(AC\). Takže \(DS\) je kolmá na \(AC\). Priamka \(PQ\) je os strany \(AE\), takže aj \(PQ\) je kolmá na \(AC\), preto \(PQ\) a \(DS\) sú rovnobežné. Keďže body \(F, S, E\) a \(Q\) ležia na priamke, sú uhly \(FSD\) a \(EQP\) súhlasné, teda rovnaké. Z toho už vyplýva \(|\sphericalangle DSC|=|\sphericalangle AQE|\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.