Zadanie

Milý denníček,
toľká to nespravodlivosť!! Nielenže som sa včera nenajedol, ale tie svine si pýtajú odškodnenie za ujmu na majetku! Tak som sa napajedil, že som sa vybral do toho kamenného domu, že ich zožeriem!! Keďže ma však nechceli vpustiť dnu vrátkami, vybral som sa komínom! Tešil som sa, ako s nimi vypečiem, ale nakoniec vypekali niečo oni!! Tak som sa spálil, že som rovno uháňal preč! Asi im budem musieť nakoniec zaplatiť!!

Majiteľovi slameného domu dlžím \(p\) peňazí, majiteľovi dreveného domu dlžím \(q\) peňazí a majiteľovi kamenného dlžím \(r\) peňazí. Platí, že \(p\), \(q\), \(r\) sú prvočísla spĺňajúce \[p!q!r!\mid (p+q)!!(p+r)!!(q+r)!!,\] pričom \(!!\) označuje dvojitý faktoriál, teda \(0!!=1!!=1\) a \(n!!=n(n-2)!!\). Nájdite všetky také trojice prvočísel \((p,q,r)\).

Všimnime si, že ak na oboch stranách výrazu vymeníme dve premenné a napríklad prepíšeme \(p\) na \(q\) a \(q\) na \(p\), nič sa na výraze nezmení a bude to stále rovnaký výraz. Bez ujmy na všeobecnosti si teda môžeme povedať, že \(p \geq q \geq r\), lebo si ich vieme jednoducho prepísmenkovať, aby to platilo.

Úlohu si rozdelíme na niekoľko podprípadov, ktoré vyriešime zvlášť. Konkrétne to bude týchto päť:

  • ak \(p\), \(q\), \(r\) sú rovnaké nepárne prvočísla,

  • ak \(p\), \(q\), \(r\) sú nepárne prvočísla, pričom \(p\) je ostro väčšie ako ostatné dve,

  • ak \(p\), \(q\), \(r\) sú nepárne prvočísla, pričom \(p = q > r\),

  • ak \(r=2\), a \(p\) a \(q\) sú nepárne prvočísla a

  • ak \(r=q=2\).

Riešenia jednotlivých častí:

  • Ak \(p\), \(q\), \(r\) sú rovnaké nepárne prvočísla, tak na ľavej strane bude výraz \(p!p!p!\) a na pravej strane bude \((2p)!!(2p)!!(2p)!!\). To si vieme rozpísať ako \[\begin{align} p!p!p!&\mid (2p)!!(2p)!!(2p)!!,\\ (p!)^3&\mid \left((2p)(2p-2)(2p-4)\cdots\cdot 4 \cdot 2\right)^3,\\ (p!)^3&\mid (2\cdot(p)\cdot 2 \cdot(p-1)\cdot 2 \cdot(p-2)\cdots\cdot 2\cdot (2) \cdot 2\cdot (1))^3,\\ (p!)^3&\mid (p! \cdot 2^p)^3.\end{align}\] To očividne platí. Tým pádom, ak sú \(p\), \(q\), \(r\) rovnaké nepárne prvočísla, tak spĺňajú deliteľnosť v zadaní.

    Všimnime si, že ak je \(x\) párne číslo, tak \(x!!=\left(\frac{x}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{x}{2}}\).

  • Ak \(p\), \(q\), \(r\) sú nepárne prvočísla, pričom \(p\) je ostro väčšie ako ostatné dve. Potom každé z čísel \((p+q)\), \((q+r)\), \((p+r)\) je párne číslo, takže môžeme použiť pozorovanie z predošlej časti a zistíme, že \[\begin{align} p!q!r!&\mid (p+q)!!(p+r)!!(q+r)!!,\\ p!q!r!\ &\mid\ \left(\frac{p+q}{2}\right)!\left(\frac{p+r}{2}\right)!\left(\frac{q+r}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}\cdot 2^{\frac{p+r}{2}}\cdot 2^{\frac{q+r}{2}}.\end{align}\] Prvočíslo \(p\) nemôže deliť žiaden z výrazov na pravej strane. Je to preto, že \(p\) je najväčšie z troch prvočísel, a teda \(p=\frac{p+p}{2}>\frac{p+q}{2}\geq \frac{p+r}{2} > \frac{q+r}{2}\). Tým pádom súčin na pravej strane nemôže obsahovať v prvočíselnom rozklade prvočíslo \(p\), a teda takáto trojica čísel nemôže byť riešením.

  • Ak \(p\), \(q\), \(r\) sú nepárne prvočísla, pričom \(p = q > r\), výraz si môžeme rozpísať ako \[\begin{align} p!q!r!&\mid (p+q)!!(p+r)!!(q+r)!!,\\ p!p!r!&\mid (2p)!!(p+r)!!(p+r)!!,\\ p!p!r!\ &\mid\ p!\left(\frac{p+r}{2}\right)!\left(\frac{p+r}{2}\right)!\cdot 2^p\cdot 2^{\frac{p+r}{2}}\cdot 2^{\frac{p+r}{2}}.\end{align}\] Teraz už má na ľavej strane prvočíslo \(p\) násobnosť (\(p\)-valuáciu) rovnú dvom. Na pravej strane však delí výraz \(p!\) len v prvej mocnine a zvyšné výrazy nedelí. Tým pádom nemôže výraz na ľavej strane deliť výraz na pravej strane.

  • Ak \(r=2\), a \(p\) a \(q\) sú nepárne prvočísla, výraz upravíme na \[\begin{align} p!q!\cdot 2&\mid (p+2)!!(q+2)!!(p+q)!!,\\ p!q!\cdot 2&\mid (p+2)!!(q+2)!!\left(\frac{p+q}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}.\end{align}\] Jeden zo spôsobov ako dokázať, že ľavá strana delí pravú je, že ukážeme, že pravá strana deleno ľavá strana je celé číslo, pričom si uvedomíme, že \(x!=x!! \cdot (x-1)!!\). \[\begin{align} \frac{(p+2)!!(q+2)!!\left(\frac{p+q}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}}{p!q!\cdot 2}&=\frac{(p+2)!!(q+2)!!\left(\frac{p+q}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}}{p!! \cdot (p-1)!!\cdot q!! \cdot (q-1)!!\cdot 2}=\frac{(p+2) \cdot (q+2) \cdot \left(\frac{p+q}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}}{(p-1)!! \cdot (q-1)!!\cdot 2}=\\ &=\frac{(p+2) \cdot (q+2) \cdot \left(\frac{p+q}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p+q}{2}}}{\left(\frac{p-1}{2}\right)!\cdot\left(\frac{q-1}{2}\right)!\cdot 2^{\frac{p-1}{2}}\cdot 2^{\frac{q-1}{2}}\cdot 2}=\frac{(p+2) \cdot (q+2) \cdot \left(\frac{p+q}{2}\right)!}{\left(\frac{p-1}{2}\right)!\cdot\left(\frac{q-1}{2}\right)!}=\\ &=\frac{p+1}{2} \cdot (p+2) \cdot (q+2) \cdot \frac{\left(\frac{p+q}{2}\right)!}{\left(\frac{p+1}{2}\right)!\cdot\left(\frac{q-1}{2}\right)!}=\frac{(p+1)(p+2)(q+2)}{2} \cdot \begin{pmatrix}\frac{p+q}{2}\\ \frac{p+1}{2}\end{pmatrix}.\end{align}\] Platí, že posledná zátvorka je kombinačné, číslo a teda tento výraz je celé číslo.

    Tým pádom ak \(p\), \(q\) sú ľubovoľné nepárne prvočísla a \(r=2\), tak výraz naľavo vždy delí výraz napravo.

  • Ak \(r=q=2\), opäť si rozpíšme výraz \[\begin{align} p! \cdot 2 \cdot 2&\mid (p+2)!!(p+2)!! \cdot 4!!,\\ p!&\mid (p+2)!!(p+2)!! \cdot 2.\end{align}\] Súčiny \((p+2)!!\) a \((q+2)!!\) obsahujú len nepárne čísla a teda jediné párne číslo na pravej strane výrazu je 2. Z toho vyplýva, že číslo 4 nedelí pravú stranu a teda 4 nedelí ani ľavú stranu. Z toho vyplýva, že \(p!\) je najviac \(3!\), lebo pre všetky vyššie faktoriály platí, že majú v sebe mocninu dvojky s násobnosťou aspoň 2. Tým pádom v tejto časti sú jediné vyhovujúce riešenia \(p=3, q=2, r=2\) a \(p=2, q=2, r=2\).

Toto sú teda všetky riešenia tejto deliteľnosti:

  • \(p=q=r\) sú prvočísla,

  • jedno z prvočísel \(p\), \(q\), \(r\) je \(2\) a zvyšné dve sú nepárne prvočísla,

  • z prvočísel \(p\), \(q\), \(r\) sú dve rovné \(2\) a tretie rovné \(3\).

Gratulujem všetkým, čo to dočítali až do konca a ako odmenu ponúkam video s mačičkami.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.