Zadanie
„Vážení, prosím, odstúpte. Detektív Holmes potrebuje na svoju prácu priestor.“
„Watson, to nebude nutné. Podľa stôp je zjavné, že tadiaľto išiel niekto s kladivom. To je potenciálna vražedná zbraň. Všimli ste si to logaritmické pravítko v tých kríčkoch za nami? Tak človek s ním a človek s kladivom tu boli tesne po sebe, i keď neviem, v akom poradí. Som tiež presvedčený, že tie stopy, ktoré sem išli z dediny, tiež pribudli tesne pred logaritmickým pravítkom alebo tesne po ňom. Niekto z týchto ľudí má alibi, lebo zjavne bol v čase vraždy v dedine.“
„A čo napríklad mačeta, Sherlock, to by mohla byť vražedná zbraň.“
„To rozhodne. Tú sem niekto doniesol tesne pred hentou varechou alebo tesne po nej.“
Kým sa Sherlock vybral rozprávať s podozrivými, Watson obkresľoval mŕtvolu, lebo tak sa to skrátka robí.
V hradnej záhrade tvaru obdĺžnika \(ABCD\) vyznačil body \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) a \(M_4\) tak, že \(M_1\) je stred strany \(CD\), \(M_2\) je stred \(AM_1\), \(M_3\) je stred \(BM_2\) a \(M_4\) je stred \(CM_3\). Určte, akú časť obdĺžnika \(ABCD\) tvorí štvoruholník \(M_1M_2M_3M_4\).
Označme \(a\) dĺžku strany \(AB\) a \(b\) dĺžku strany \(BC\). Namiesto počítania s nepravidelným štvoruholníkom \(M_1M_2M_3M_4\) spočítame obsah všetkého ostatného a výsledok odčítame od obsahu obdĺžnika. To nám o niečo zjednoduší prácu, keďže sa nám stačí obmedziť na trojuholníky \(DAM_1,\, ABM_2,\, BCM_3\) a \(CM_1M_4\).
Trojuholník \(DAM_1\) je pravouhlý s odvesnami \(\frac{1}{2}a\) a \(b\), takže jeho obsah je \(\frac{ab}{4}\). S ostatnými trojuholníkmi to bude horšie, ale aspoň majú základne na stranách obdĺžnika.
Kľúčová je teraz pozícia bodu \(M_2\). Ten je vzdialený \(\frac{1}{2}b\) od úsečky \(CD\) a \(\frac{1}{4}a\) od úsečky \(DA\). To si vieme ľahko overiť tak, že do trojuholníka \(DAM_1\) doplníme stredné priečky. Tie sú rovnobežné so stranami trojuholníka a navyše majú polovičnú dĺžku oproti rovnobežnej strane. Úsečka vychádzajúca z \(M_2\) rovnobežná s \(DM_1\) tak bude mať dĺžku \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a = \frac{1}{4} a\). Podobne vyrátame aj druhú stranu.
Potom však poznáme aj výšku trojuholníka \(ABM_2\). Keďže \(M_2\) je presne v polovici vzdialenosti medzi \(AB\) a \(CD\), jeho vzdialenosť od \(AB\) je \(\frac{1}{2}b\). Obsah trojuholníka \(ABM_2\) tak bude \(\frac{ab}{4}\).
Podobnú myšlienku vieme využiť aj pri bode \(M_3\). Treba si len dať pozor, aby sme naozaj počítali s pravouhlým trojuholníkom. Takže potrebujeme použiť výšku trojuholníka \(ABM_2\). Vzdialenosť \(M_3\) od výšky bude \(\frac{1}{2}\) zo vzdialenosti výšky od bodu \(B\). Tá je \(a - \frac{1}{4}a = \frac{3}{4}a\). Vzdialenosť \(M_3\) od výšky (a teda aj od strany \(BC\)) teda bude \(\frac{3}{8}a\). Vzdialenosť \(M_3\) od \(AB\) bude \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{4}b\). Každopádne na výpočet obsahu \(BCM_3\) nám stačí prvá hodnota. Obsah tohoto trojuholníka je \(\frac{3}{16}ab\), keďže jeho základňa má dĺžku \(b\).
Výpočet ešte raz zopakujeme pre \(M_4\). Ten je od \(CD\) vzdialený polovicu toho, čo \(M_3\). Ten je vzdialený \(\frac{1}{4}b\) od \(AB\), takže \(\frac{3}{4}b\) od \(CD\). Výška trojuholníka \(CM_1M_4\) tak bude \(\frac{3}{8}b\), jeho základňa je \(\frac{1}{2}a\), takže obsah má \(\frac{3}{32}ab\).
Teraz nám stačí odčítať všetky trojuholníky od obsahu obdĺžnika. Dostaneme \[ab - \frac{ab}{4} - \frac{ab}{4} - \frac{3ab}{16} - \frac{3ab}{32} = \frac{7}{32}ab.\] Štvoruholník \(M_1M_2M_3M_4\) teda tvorí \(\frac{7}{32}\) obdĺžnika \(ABCD\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.