Zadanie
„A čo je toto?“ spýtal sa Sherlock dvíhajúc zo zeme handrovú postavičku.
„To je voodoo bábika. S tou som, ehm, zaklínal, ehm, v čase vraždy,“ povedala jedna z postáv. Sherlock sa otočil za hlasom.
„Takže je to niekoho z vás. A čo tá varecha?“
„Tá je moja. Viete, ja som tu kuchár. Iba varím, a to je celé,“ ozval sa ďalší hlas.
Dokážte, že pre všetky celé čísla \(n\) je \[\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}\] celým číslom.
Jeden z možných postupov riešenia tejto úlohy bol pomocou matematickej indukcie. Najskôr sa zameriame na nezáporné hodnoty \(n\). Za \(n\) si dosadíme najmenšie možné číslo, v tomto prípade \(0\) a overíme, či je výraz celým číslom. \[\begin{align} \frac{0^5}{5} + \frac{0^3}{3} + \frac{7\cdot 0}{15} = 0.\end{align}\] Keďže tvrdenie platí pre \(n=0\), môžeme sa presunúť k indukčnému kroku. Predpokladajme, že pre nejaké nezáporné celé číslo \(k\) platí, že výraz \[\begin{align} \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}\end{align}\] je celým číslom. Teraz si dosaďme \(n = k+1\). Dostaneme tak \[\begin{align} \frac{(k+1)^5}{5} + \frac{(k+1)^3}{3} + \frac{7(k+1)}{15}.\end{align}\] Výraz si môžeme ďalej upraviť použitím binomickej vety na \[\begin{align} \frac{k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1}{5} + \frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{3} + \frac{7k+7}{15}.\end{align}\] Zlomky upravíme, aby mali spoločný menovateľ a sčítame ich \[\begin{align} &\frac{3k^5 + 15k^4 + 30k^3 + 30k^2 + 15k + 3}{15} + \frac{5k^3 + 15k^2 + 15k + 5}{15} + \frac{7k+7}{15}=\\ =\ &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k +15(k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)}{15}=\\ =\ &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} + \frac{15(k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)}{15}.\end{align}\] Po vykrátení druhého zlomku získame \[\begin{align} &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} + k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1=\\ =\ &\frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15} + k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1.\end{align}\] Môžeme si všimnúť, že výraz sa teraz skladá z troch zlomkov, o ktorých sme od začiatku predpokladali, že ich súčet je celé číslo a niekoľko ďalších celých čísel. Celý výraz teda musí byť celým číslom, ak \(n\) je nezáporné celé číslo.
Keď sa pozrieme na záporné hodnoty čísla \(n\), môžeme si všimnúť, že výraz bude taktiež celé číslo, keďže všetky exponenty sú nepárne, a teda výraz nám dá rovnakú hodnotu ako pri kladnom \(n\), akurát s opačným znamienkom.
Pomocou matematickej indukcie sme dokázali, že výraz zo zadania má pre všetky celé čísla \(n\) celočíselnú hodnotu.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.