Zadanie
„Džentlmeni, neradno nám vonku takto postávať. Čo keby sme sa presunuli ku mne dnu? Za chvíľu isto vyjde slnko a svit si bezpečnejšie užijeme zvnútra.“
„Takže Vám to tu patrí?“ opýtal sa Sherlock. „Vy musíte byť teda pán Drakula. Prečo máte také veľké zuby?“
„Aby som sa mohol lepšie usmievať,“ odvetil Drakula.
„Tie vyzerajú mimoriadne nebezpečne. Mohli by veľmi ľahko niekomu ublížiť, či dokonca zabiť,“ podotkol Watson.
„Počujte, páni detektívi,“ ozval sa im spoza chrbta hlas, „volám sa Gašpar Daikeš a niekde som tu stratil svoju funkciu. Nepomohli by ste mi ju nájsť, keď už ste tu?“
„Funkciu?“ začudoval sa Watson. „Áno, funkciu. Ešte ste o nej nepočuli, pán Watson?“ odvetil Daikeš. „Moja funkcia nie je len taká dáka obyčajná. Nech si vymyslíte ľubovolné dve reálne čísla \(x\) a \(y\), funkcia \(f\) pre ne určite bude spĺňať rovnosť \[f(x)f(y) + f(xy) = x + y,\text“\] nedal sa zastaviť Daikeš.
„Ale, ja neviem ako by sa taká funkcia mala hľadať,“ smutne odvetil Watson. „A vy ste nečítali detektívnu príručku k funkcionálnym rovniciam1?“ opýtal sa zmätene Daikeš.
Pomôžte Watsonovi nájsť všetky funkcie, ktoré mohli patriť Gašparovi Daikešovi.
Skúsime využiť metódy, ktoré boli popísane v príručke. Začneme tým, čo vieme spraviť hneď – dosadením. Vidíme, že \(x=0\) a \(y=0\) by nás mohlo doviesť k zaujímavým výsledkom: \[\begin{align} f(0)f(0)+f(0\cdot0)&=0+0,\\ f(0)^2+f(0)&=0,\\ f(0)(f(0)+1)&=0.\end{align}\] Z toho máme, že buď \(f(0)=0\), alebo \(f(0)+1=0\), t.j. \(f(0)=-1\). Skúsme teraz dosadiť len \(y=0\): \[\begin{align} f(x)f(0)+f(x\cdot0)&=x+0,\nonumber\\ f(x)f(0)+f(0)&=x.\tag{1}\end{align}\] Teraz už vidíme, že ak \(f(0)=0\), tak posledná rovnica bude vyzerať takto: \[\begin{align} f(x)\cdot0+0&=x,\\ 0&=x.\end{align}\] Potom máme, že posledná rovnica platí len pre \(x=0\), ale nie pre ľubovoľné \(x\). Preto \(f(0)\neq0\).
To znamená, že jedinou možnosťou je \(f(0)=-1\). Skúsime teraz dosadiť \(f(0)=-1\) do (1): \[\begin{align} f(x)\cdot(-1) + (-1) &= x,\\ -f(x) &= x+1,\\ f(x) &= -x-1.\end{align}\] Takže sme našli jediného kandidáta na riešenie. Aby to bolo naozaj riešenie, musíme ho teraz overiť dosadením do pôvodnej rovnice: \[\begin{align} f(x)f(y) + f(xy) &= x + y,\\ (-x-1)(-y-1) + (-xy-1) &= x + y,\\ (xy+x+y+1) - xy - 1 &= x+ y,\\ x + y &= x + y,\\ 0 &= 0.\end{align}\] Táto funkcia spĺňa rovnosť pre všetky \(x,y\), a teda naozaj funkcia \(f(x)=-x-1\) je riešením danej rovnice. A pri tom sme ukázali, že iné riešenia neexistujú, teda je to jediné riešenie.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.