Zadanie
„A Vy?“ ukázal Sherlock na jedinú ženu v miestnosti.
„Ja sa volám Winnie,“ odpovedala.
„A v čase vraždy ste…“
„V čase vraždy som bola manželka zavraždeného,“ odvetila bez mihnutia oka.
„Takže ste manželka,“ zopakoval Sherlock. „To však nič nehovorí o tom, čo ste v čase vraždy robili. Prečo nám to nepoviete?“
„Poviem vám to, až keď nájdete také kladné celé číslo \(n\),“ udrela päsťou do stola, „a také celé číslo \(m\),“ udrela znova, „že spĺňajú vzťah \[3n^2 + 3n + 7 = m^3.\text“\] Dokážte, že Sherlock také čísla \(m\), \(n\) nenájde, lebo neexistujú.
Ak chceme dokázať, že rovnosť nebude platiť pre žiadne \(n\) a \(m\), dobrým nápadom je nájsť nejakú slabšiu podmienku, o ktorej to dokážeme jednoduchšie. Napríklad aby sa výrazy rovnali, musia mať aj rovnaký zvyšok po delení číslom \(3\), čo budeme zapisovať pomocou kongruencií1. Číslo \(3\) napríklad preto, že je rozumne malé a zároveň vieme, že jediný člen na ľavej strane, ktorý nie je deliteľný tromi, je \(+7\). Teda aby rovnosť platila, musí platiť: \[0+0+7\equiv 1\equiv m^3\pmod{3}.\] Číslo \(m\) môže mať rôzne zvyšky po delení \(3\), buď bude násobkom \(3\), alebo bude o \(1\) menej2, alebo viac. Vypočítajme si, ako tieto čísla budú vyzerať umocnené na tretiu. A keďže nás zaujíma iba zvyšok po delení tromi, môžeme všetky členy deliteľné \(3\) odstrániť. \[\begin{align} (3k)^3&=27k\equiv 0,\pmod{3}\\ (3k+1)^3&=27k^3+27k^2+9k+1\equiv 1,\pmod{3}\\ (3k-1)^3&=27k^3-27k^2+9k-1\equiv -1 \equiv 2.\pmod{3}\end{align}\] Vidíme teda, že jediná možnosť pre \(m\) je taká, kde \(m\equiv 1\pmod{3}\). My však potrebujeme ukázať, že ani tak rovnosť nikdy nedostaneme. Skúsime preto nájsť problém v inom zvyšku. To, čo sme doteraz zistili, ale nie je zbytočné, využijeme práve to, že pravá strana bude mať tvar \((3k+1)^3\). Ako vidíme vyššie, po roznásobení sú všetky členy okrem \(+1\) deliteľné deviatimi. Vieme teda, že pravá aj ľavá strana by musela mať zvyšok \(1\) po delení \(9\). Preskúmajme teda ľavú stranu a trochu si ju upravme, aby sme zistili, či to tak môže byť. \[\begin{align} 3n^2+3n+7=3(n^2+n)+7&\equiv 1,\pmod{9}\\ 3(n^2+n)\equiv 1-7\equiv -6&\equiv 3,\pmod{9}\\ n^2+n&\equiv 1.\pmod{3}\end{align}\] Po odčítaní 7 sme celú kongruenciu predelili tromi vrátane modula, pretože aj modulo bolo deliteľné 3. Pri výraze \(n^2+n\) si ľahko overíme, že jeho zvyšky postupne pre \(n\equiv 0, 1, 2\) budú \(0+0=0\); \(1+1=2\); \(4+2=6\equiv 0\pmod{3}\). Vidíme teda, že posledná kongruencia nikdy platiť nebude, a teda obe strany našej pôvodnej rovnosti nikdy nebudú mať rovnaký zvyšok po delení \(9\). Tým pádom sa nemôžu nikdy rovnať, čo bolo treba dokázať.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.