8. Kohosi Mdloby Skolili vzorové riešenie

Pri riešení úlohy budeme využívať orientované uhlenie¹. Ide o trik, vďaka ktorému (takmer) nebudeme musieť rozoberať rôzne prípady (ako napríklad "Čo ak \(\alpha > 90^\circ\)? Čo ak \(\gamma > 90^\circ\)?"). Samozrejme, úloha bolo možné riešiť aj klasickým uhlením, iba je potrebné si dávať pozor na možné problémy.

Rýchle uvedenie orientovaných uhlov: Orientovaným uhlom \((p, q)\) dvoch priamok \(p\), \(q\) (v tomto poradí) nazveme uhol, o ktorý je potrebné otočiť \(p\) (v kladnom smere, teda proti smeru hodinových ručičiek), aby otočená \(p\) bola rovnobežná (alebo zhodná) s \(q\).

Teraz pokračujeme so samotným riešením.

Najprv dokážeme podobnosť trojuholníkov \(AB_iC_i\) a \(AC_{i+1}B_{i+1}\).

Nech \((B_iA, AC_i)=\alpha_i\), \((C_iB_i, B_iA)=\beta_i\) a \((AC_i, C_iB_i)=\gamma_i\).

Všimneme si, že ak \(\alpha = 90^\circ\), tak zo zadania \(B_{i+1} = C_{i+1} = A\). Potom ale nevieme definovať \(B_{i+2}\) a \(C_{i+2}\), teda naša suma nie je definovaná.

Nakoľko \(C_iB_{i+1}\) a \(B_iC_{i+1}\) sú výšky, platí \((B_iC_{i+1}, AC_i) = (AC_i, B_iC_{i+1}) = (C_iB_{i+1}, AB_i) = (AB_i, C_iB_{i+1}) = 90^\circ\). Z \((B_iB_{i+1}, B_{i+1}C_i) = (B_iC_{i+1}, C_{i+1}C_i)\) zároveň dostávame, že štvoruholník \(C_{i+1}B_{i+1}B_iC_i\) (vo vhodnom poradí záležiac od konštrukcie) je tetivový. Z vety o úsekovom uhle (pre orientované uhly) potom \((C_{i+1}B_{i+1}, B_{i+1}A) = (C_{i+1}C_i, C_iB_i) = (AC_i, C_iB_i) = \gamma_i\). Analogicky \((AC_{i+1}, C_{i+1}B_{i+1}) = \beta_i\).

Nápodobne z \((H_iC_{i+1}, C_{i+1}A) = (H_iB_{i+1}, B_{i+1}A) = 90^\circ\) je štvoruholník \(H_iC_{i+1}AB_{i+1}\) (znova, s bodmi vo vhodnom poradí) tetivový. Z toho dostávame \((C_{i+1}H_i, H_iA) = (C_{i+1}B_{i+1}, B_{i+1}A) = \gamma_i\). Tento fakt využijeme neskôr pri počítaní \(|AH_0|\).

Dostávame \(\gamma_{i+1} = (AC_{i+1}, C_{i+1}B_{i+1}) = (C_iB_i, B_iA) = \beta_i\) a \(\beta_{i+1} = (C_{i+1}B_{i+1}, B_{i+1}A) = (AC_i, C_iB_i) = \gamma_i\). To nám hovorí, že trojuholníky \(AB_iC_i\) a \(AC_{i+1}B_{i+1}\) sú podobné podľa vety uu, čo sme chceli.

Ďalej sa budeme pokúšať nájsť koeficient podobnosti \(k\). Potom z podobnosti \(|AH_{i+1}| / |AH_i| = k = |AB_{i+1}| / |AC_i|\).

Vyjadríme si \(|AB_{i+1}|\) z trojuholníka \(C_iB_{i+1}A\). Tu už prestaneme používať orientované uhly, keďže nám nevyriešia problémy, ktoré vzniknú klasickým uhlením.

Naše goniometrické znalosti nám hovoria, že \[\cos(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i|) = |AB_{i+1}| / |AC_i|.\]

To upravíme na \[|AB_{i+1}| = \cos(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i|) \cdot |AC_i|.\]

Tu ale nastáva problém, keďže \(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i| = \alpha\) neplatí vo všetkých konfiguráciách. Konfigurácie sú dve, a to

• \(\alpha < 90^\circ\) a \(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i| = \alpha\),

• \(\alpha > 90^\circ\) a \(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i| = 180^\circ - \alpha\).

Z toho vyplýva, že \(\cos(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i|) = |\cos(\alpha)|\), pretože \[\begin{align} \cos(|\sphericalangle B_{i+1}AC_i|)=\begin{cases} \cos(\alpha) > 0 & \alpha < 90^\circ,\\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) > 0 & \alpha > 90^\circ. \end{cases}\end{align}\]

Dostávame \(k = |AB_{i+1}| / |AC_i| = |\cos(\alpha)|\), z čoho vyplýva: \[\begin{align} |AH_1| &= |\cos(\alpha)| \cdot |AH_0|,\\ |AH_2| &= |\cos^2(\alpha)| \cdot |AH_0|,\\ &\ \ \vdots\\ |AH_i| &= |\cos^i(\alpha)| \cdot |AH_0|.\end{align}\]

Teraz potrebujeme dopočítať \(|AH_0|\). To vieme urobiť mnohými spôsobmi (napr. cez podobnosti alebo vzorce), ale my využijeme sínusovú vetu pre trojuholník \(AH_0C_1\). Platí: \[\begin{align} |AH_0| / \sin(90^\circ) &= |AC_1| / \sin(|\sphericalangle C_1H_0A|) \\ |AH_0| &= |AC_1| / \sin(|\sphericalangle C_1H_0A|) \\ |AH_0| &= \cos(\alpha) \cdot |AB_0| / \sin(|\sphericalangle C_1H_0A|)\end{align}\]

Zo sínusovej vety pre \(ABC\) máme \(|AB_0| = \sin(\gamma_0) \cdot |B_0C_0| / \sin(\alpha)\). Dosadíme a dostaneme \[|AH_0| = |\cos(\alpha)| \cdot \sin(\gamma_0) \cdot \cfrac{|B_0C_0|}{\sin(\alpha)} \cdot \cfrac{1}{\sin(|\sphericalangle C_1H_0A|)} = \cfrac{|B_0C_0| \cdot |\cos(\alpha)|}{\sin(\alpha)} \cdot \cfrac{\sin(\gamma_0)}{\sin(|\sphericalangle C_1H_0A|)}.\]

Spomenieme si na \((C_{i+1}H_i, H_iA) = \gamma_i\), čo sme predtým vypočítali. Samozrejme nám tu nastávajú dve možnosti podľa konfigurácie: \(|\sphericalangle C_1H_0A| = (C_{0+1}H_0, H_0A) = \gamma_0\) alebo \(|\sphericalangle C_1H_0A| = (H_0A, C_{0+1}H_0) = 180^\circ - \gamma_0\). Tentokrát je nám to ale jedno, pretože \(\sin(\gamma_0) = \sin(180^\circ - \gamma_0)\).

Dostávame tak \[|AH_0| = \cfrac{|B_0C_0| \cdot |\cos(\alpha)|}{\sin(\alpha)} \cdot \cfrac{\sin(\gamma_0)}{\sin(\gamma_0)} = \cfrac{|B_0C_0| \cdot |\cos(\alpha)|}{\sin(\alpha)} = |B_0C_0| \cdot |\cot(\alpha)|.\]

Hľadaná suma je následne vďaka súčtu nekonečného geometrického radu rovná \[\sum_{k=0}^\infty |AH_k| = \sum_{k=0}^\infty |\cos^k(\alpha)| \cdot |AH_0| = |B_0C_0| \cdot |\cot(\alpha)| \cdot \sum_{k=0}^\infty |\cos^k(\alpha)| = \boxed{|B_0C_0| \cdot |\cot(\alpha)| \cdot \frac{1}{1 - |\cos(\alpha)|}}.\]

Suma konverguje pre \(|\cos(\alpha)|<1\), čo bude v našom trojuholníku platiť vždy.