9. Krásy Mysle Sherlockovej vzorové riešenie

Uvedomme si, že aby číslo bolo blízko, musí jeho desiatkový zápis obsahovať iba nuly a jednotky – inak by ním totiž nemohol končiť jeho dvojkový zápis. Navyše, hľadáme iba také prirodzené čísla poblíž, ktoré obsahujú v desiatkovej sústave najviac dve jednotky. Preto riešeniami môžu byť iba čísla tvaru \(10^k\) a \(10^k+10^l\) pre \(k>l\) nezáporné celé.

Ak \(n=10^k\), tak v desiatkovej sústave pozostáva z jednotky a \(k\) núl. V dvojkovej sústave však tiež musí končiť \(k\) nulami, keďže \(2^k\mid 10^k\). Navyše, keďže \(2\) a \(5\) sú nesúdeliteľné, tak \(2^{k+1}\nmid 10^k\), čo znamená, že cifra naľavo od týchto \(k\) núl musí byť jednotka. Tým dostávame, že všetky mocniny desiatky sú blízko.

Uvažujme teraz \(n=10^k+10^l\) s \(k>l\), ktoré je blízko. Keď z jeho dvojkového zápisu odstránime \((k+1)\)-vú a \((l+1)\)-vú cifru sprava, musí končiť \(k+1\) nulami. To však znamená, že \(n-2^k-2^l\) je deliteľné \(2^{k+1}\). Vieme však, že \(10^k-2^k=2^k\cdot(5^k-1)\) je násobkom \(2^{k+1}\), keďže \(5^k-1\) je vždy párne. Preto nám stačí nájsť také dvojice \(k, l\), že \[\begin{align} 2^{k+1}&\mid 10^l-2^l,\\ 2^{k-l+1}&\mid 5^l-1.\end{align}\] To nám pripomína známy vzťah \(5^l-1=(5-1)(5^{l-1}+5^{l-2}+\cdots+5+1)\). Všimnime si, že pre nepárne \(l\) máme v druhej zátvorke nepárny počet nepárnych sčítancov, čiže táto zátvorka nemôže byť párna. Javí sa teda, že je prospešné si rozložiť exponent \(l\) na párnu a nepárnu časť – preto nech \(l=2^a\cdot b\), kde \(b\) je nepárne. Potom \[\begin{align} 5^l-1=\left(5^{2^a}\right)^b-1=\left(5^{2^a}-1\right)(\text{nepárny počet nepárnych sčítancov})=\left(5^{2^{a-1}}+1\right)\left(5^{2^{a-1}}-1\right)\cdot(\text{nepárne číslo}).\end{align}\] Všimnime si, že prvé dve zátvorky sú obe párne. Navyše sa líšia o \(2\), takže práve jedna z nich je deliteľná \(4\). Avšak, \(5^{2^{a-1}}-1=\left(5^{2^{a-2}}-1\right)\left(5^{2^{a-2}}+1\right)\) musí byť deliteľná \(4\), a teda \(\left(5^{2^a-1}+1\right)\) má v prvočíselnom rozklade práve jednu dvojku. Takto vieme pokračovať, čím dostaneme \[\begin{align} 5^{2^a}-1&=\left(5^{2^{a-1}}+1\right)\left(5^{2^{a-1}}-1\right)=\left(5^{2^{a-1}}+1\right)\left(5^{2^{a-2}}+1\right)\left(5^{2^{a-2}}-1\right)=\cdots=\\ &=\left(5^{2^{a-1}}+1\right)\left(5^{2^{a-2}}+1\right)\cdots\left(5^{2^1}+1\right)\left(5^{2^0}+1\right)\left(5^{2^0}-1\right).\end{align}\] Ako sme už povedali vyššie, prvých \(a-1\) zátvoriek má v prvočíselnom rozklade práve jednu dvojku. A súčin posledných dvoch, \(6\cdot4=2^3\cdot3\) ich obsahuje práve \(3\). Preto sa dvojka v prvočíselnom rozklade \(5^l-1\) nachádza presne \((a+2)\)-krát¹. My však potrebujeme, aby to bolo aspoň \(k-l+1\), z čoho dostávame \[\begin{align} k-2^a\cdot b+1&\leq a+2,\\ k&\leq 2^a\cdot b+a+1. \end{align}\] Navyše vieme, že \(k>l\), a teda v tejto vetve úlohu spĺňajú všetky čísla tvaru \(10^{2^a\cdot b+c+1}+10^{2^a\cdot b}\), kde \(a, b, c\) sú nezáporné celé čísla, pričom \(c\leq a\) a \(b\) je nepárne.

Nezabudnime však na jeden špeciálny prípad, a to \(l=0\). Vtedy ho totiž nevieme zapísať v tvare \(2^a\cdot b\), keďže nejde o prirodzené číslo. Je však zrejmé, že podobne ako pri mocninách desiatky, číslo \(10^k+1\) končí v dvojkovej sústave na svoj zápis v desiatkovej sústave pre všetky \(k\geq1\).