Zadanie
Watson vytiahol Sherlocka z miestnosti, aby sa mohli poradiť.
„Je to skutočne veľmi zapeklitý prípad, Sherlock,“ povedal Watson. „Máme tu päť podozrivých – exekútora, grófa, kuchára, manželku a sluhu. V nejakom poradí prišli na miesto činu, ale každý z nich má alibi. Niekto bol počas vraždy v dedine a ostatní sa v tom čase venovali nejakej inej činnosti. A potom sú tu tie stopy na mieste činu. Aj tých je päť – voodoo bábika, varecha, logaritmické pravítko, funkcia, a ampulka...“
„Ampulka? Prečo mi to hovoríte až teraz, Watson? V tej mohol byť jed. Ten by mohol byť ďalšou vražednou zbraňou!“
„No, vidíte, Sherlock. Ešteže ma máte.“
„Ale kdeže, milý Watson. Strieľam si z Vás. Tak, ako si niekto vystrelil zo Záhradníka. Videli ste snáď tú stopu po guľke. Je to prosté, milý Watson, aj keď mal každý podozrivý prístup k jednej zo zbraní, vrah určite použil guľomet.“
Sherlock vie, že guľky z guľometu sú očíslované číslami \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_n\) z intervalu \(\langle 0,1 \rangle\). Dokážte, že pre \(n \geq 2\) platí \[\frac{a_1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}+ \frac{a_2}{1+a_3+a_4+\cdots+a_n+a_1}+ \cdots+ \frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}}+\] \[+(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_{n-1})(1-a_n) \leq 1.\]
Pri riešení tejto nerovnosti sme si mohli všimnúť, že jeden z prípadov, kedy nastáva rovnosť, je ak práve jedno z čísel má ľubovoľnú hodnotu z daného intervalu a zvyšné sú \(0\). To nám môže povedať, že chceme uvážiť najväčší prvok z pomedzi \(a_i\), lebo na základe prípadov rovnosti má špeciálne postavenie. Tak to poďme spraviť! Vzhľadom na cyklickosť nerovnosti predpokladajme bez ujmy na všeobecnosti, že \(a_1\) je najväčšie. To nám umožní dobre odhadnúť menovatele. Tie sa líšia tým, že vždy vynecháme nejaké \(a_i\). Najmenšiu hodnotu nadobudnú, ak vynecháme \(a_1\). Využitím tohto pozorovania dostaneme \[\begin{align} \frac{a_1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}+ \cdots+ \frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}}&\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+a_2+a_3+\cdots +a_n},\\ \frac{a_1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}+ \cdots+ \frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}}&\leq 1-\frac{1-a_1}{1+a_2+a_3\cdots +a_n}.\end{align}\] Dosadením tohto odhadu do zadanej nerovnosti a po pár jednoduchých úpravách získame \[(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)(1+a_2+a_3+\cdots+a_n)\leq (1-a_1).\] Teraz si všimnime, že aritmetický priemer čísel \((1-a_2),(1-a_3),\dots, (1-a_n),(1+a_2+a_3\dots +a_n)\) je \(1\) a na ľavej strane nerovnosti, ktorú nám stačí dokázať, nám vystupuje \(n\)-tá mocnina ich geometrického priemeru, ktorý môžeme odhadnúť AG nerovnosťou ako \(1^n=1\), z čoho máme \[(1-a_1)((1-a_2)\cdots(1-a_n)(1+a_2+a_3\cdots+a_n))\leq (1-a_1)\cdot 1^n=(1-a_1),\] čím sme ukázali, že platí silnejšia nerovnosť, ktorú sme dostali odhadmi a ekvivalentnými úpravami zadanej nerovnosti, čiže následne platí aj tá.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.