7. Kecy o Mojovi na Sústredení

Pamätáte si ešte, ako sme vám na sústredeniach vždy hovorili, že príde Mojo a bude Náboj? Hádam hej, veď to už celkom zľudovelo. Skúsme to teraz trochu pozmeniť. Namiesto Náboja budeme mať nekonečne veľa konečných postupností núl a jednotiek, ktoré označíme \(a_1,a_2,a_3,\dots\) Začneme s \(a_1=0\). Príde Mojo a postupne bude vytvárať ďalšie členy tejto postupnosti, a to tak, že si na papier napíše poslednú zatiaľ vytvorenú postupnosť, \(a_i\), dvakrát za sebou, ale keď ju bude písať druhýkrát, tak namiesto núl bude písať jednotky a namiesto jednotiek nuly. Takto dostane postupnosť \(a_{i+1}\) a tak isto postupuje ďalej. Prvé štyri členy teda budú \[a_1=0,\ a_2=01,\ a_3=0110,\ a_4=01101001.\] Keď Mojo bude opakovať tento proces donekonečna, dostane postupnosť \(a=0110100110010110\dots\) Dokážte, že desatinné číslo \(0.a\) nie je racionálne.¹

Poznámka: Zápis \(0.a\) znamená, že nalepíme \(a\) ako desatinnú časť čísla za \(0\).