10. Kategória Mocných Symbolov

Racionálne číslo \(r\) nazvývame mocné a powerful, ak ho vieme vyjadriť v tvare \[\frac{p^k}{q}\] pre nejaké nesúdeliteľné kladné celé čísla \(p\), \(q\) a nejaké celé číslo \(k > 1\). Nech \(a\), \(b\), \(c\) sú kladné racionálne čísla, pre ktoré platí \(abc = 1\). Predpokladajme, že existujú kladné celé čísla \(x\), \(y\), \(z\) také, že \(a^x + b^y + c^z\) je celé číslo. Dokážte, že každé z čísel \(a\), \(b\), \(c\) je mocné a powerful.