10. Kiežby Mali Súcit

Jedlý plot z XXL pelendrekov akosi nedokázal udržať ten nápor cukruchtivých banditov, preto prišla zúfalá ježibabka s nápadom dvier na kód a systémom bezpečnostných kamier, ktoré by zaznamenali votrelca a ostreľovali ho tureckým želé. Celé veky sa nikto do domčeka nedostal, až kým si dvaja súrodenci bez omrvinky súcitu so staršou paňou netipli odpoveď správne. A pritom si dal Bezzubý tak záležať.

Definujme nekonečnú postupnosť čísel \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) takú, že \(a_1=2\) a \(a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot a_n\). Dokážte, že pre nekonečne veľa hodnôt \(n\) je výraz \[\frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{n+1}\] štvorcom celého čísla.