Ako riešiť úlohy v KMS

Vyriešiť úlohu neznamená len nájsť výsledok. Treba taktiež dokázať, že nájdený výsledok je správny. Stáva sa, že riešiteľ nám pošle úlohu, mysliac si, že jeho riešenie je perfektné a potom je sklamaný, keď za ňu dostane len pár bodov. Pri riešení úloh je dôležité vedieť, kedy mám už úlohu dokončenú so všetkým, čo treba, a kedy mi k nej ešte niečo chýba. Tento text ti má pomôcť zorientovať sa v tom, čo všetko treba k úplnému riešeniu úlohy, a poukazuje na veci, na ktoré sa často zabúda.

Opisuj svoje úvahy všeobecne

Veľa úloh v KMS je formulovaná všeobecne. Treba v nich napríklad niečo dokázať pre všetky prirodzené čísla $n$ (alebo niečo obdobné). Bežným postupom, ako prísť na riešenie takýchto úloh, je skúšať ich vyriešiť postupne pre $n$ rovné $1$, $2$, $3$, $\dots{}$, objaviť pri tom spoločné princípy a zovšeobecniť ich. Avšak nestačí do riešenia napísať, ako sa úloha rieši pre niekoľko malých hodnôt a zvyšok odbiť slovami a tak ďalej. Trénuj si pri riešení úloh všeobecné vyjadrenie, príde ti vhod počas strednej školy a neskôr aj počas vysokej.

Dokazuj veci poriadne, nie intuitívne

Častým nedostatkom riešení býva nedostatočné zdôvodnenie tvrdení, resp. zdôvodnenie len na intuitívnej úrovni. Veľmi častými pojmami, ktoré signalizujú intuitívne dokazovanie, sú tvrdenia: „Robíme to optimálne a preto to je najlepšie, ako sa dá.“ „Zoberieme si najhorší možný prípad...“ „Ak to spravíme inak, tak si len pohoršíme.“ Aby takéto pojmy mali význam v dôkazoch, musia byť riadne podložené matematickými pojmami. Väčšinou nám však len pomôžu na odhalenie správneho výsledku, ktorý potom už riadne bez nich dokážeme.

Príklad dôkazu, ktorý je založený na intuícii a nie je formálne správny, nájdeš v úlohe Lode.

Stačí ukázať správnosť riešenia

Pri spisovaní svojich riešení môžeš byť zvyknutý písať všetky svoje myšlienkové pochody, ktoré Ťa priviedli k riešeniu. To, čo v KMS hodnotíme, je správnosť riešení. Pri niektorých úlohách je to len malá časť zo všetkých úvah, ktoré pri riešení urobíš (napr. pri úlohe Lode).

Keď vyriešiš úlohu, tak predtým, ako sa spustíš do jej spisovania, premysli si, čo všetko potrebuješ na to, aby si zdôvodnil správnosť svojho riešenia. Stačí, keď napíšeš len to. Takéto premyslenie ti pomôže skontrolovať, či si nezabudol na dôležitú úvahu. Taktiež, keď riešenie okrešeš o zbytočné veci, ušetríš si čas, narobíš menej chýb a môžeš sústrediť svoju pozornosť na to podstatné. (Ako bonus ešte spravíš radosť nám opravovateľom.)

Naučiť sa správne spisovať riešenia chce veľa cviku. Ak si nie si istý, čo všetko treba v riešení a čo nie, tým, že toho do riešenia napíšeš viac, body nestratíš.

Úlohy, kde hľadáme výsledky

Cieľom mnohých úloh je nájsť čísla, ktoré vyhovujú nejakým podmienkam. Výsledkom tejto úlohy je nejaká množina čísel, či už jedno, dve, kľudne aj nekonečne veľa. Príkladom úlohy tohto typu je úloha Mince.

Aby sme ukázali, že náš výsledok je správny, potrebujeme ukázať dve veci:

• Každé číslo z nášho výsledku vyhovuje podmienkam zo zadania (hovorí sa tomu aj skúška správnosti).
• Žiadne iné čísla podmienkam zo zadania nevyhovujú.

V niektorých úlohách je možné tieto dve veci ukázať naraz, napr. pomocou ekvivalentných úprav pri riešení rovníc. Avšak ak si nie si istý/-á, napíš do svojho riešenia každú časť zvlášť.

V takýchto úlohách nemusíme hľadať vždy čísla, ale aj funkcie, tabuľky, body a iné veci. To však nič nemení na spomenutých dvoch veciach, ktoré musia byť obsiahnuté v úplnom riešení.

Úlohy, kde hľadáme niečo najmenšie / najväčšie

Ďalšiu skupinu úloh tvoria tie, kde je potrebné nájsť najmenšie číslo, najmenší rozmer tabuľky, počet ľudí v skupine, pre ktorý je niečo možné. Príkladom úlohy tohto typu je úloha Lode.

Rovnako ako v predchádzajúcom type úloh, aj tu treba ukázať rovnaké dve veci. Ak chceme ukázať, že najmenšie číslo $n$, ktoré vyhovuje zadaniu je $k$, potrebujeme ukázať:

• Pre $n = k$ je možné splniť zadanie (tzv. konštrukcia).
• Pre $n < k$ nie je možné splniť zadanie (tzv. dolný odhad).

Vo väčšine úloh tohto typu nejdú tieto dve veci zlúčiť do jednej. Treba si dať pozor, že ukázať druhý bod vo všeobecnosti neznamená ukázať, že zadanie nemožno splniť $n = k - 1$.

Ukázať iba jeden zo spomenutých bodov nestačí:

• Ukážeme iba, že pre nejaké $n = a$ zadanie ide splniť (konštrukciu). To znamená, že hľadané najmenšie $n$ môže byť najviac $a$. Aby sme úlohu doriešili, potrebujeme nájsť dôkaz, prečo zadanie nemožno splniť pre $n < a$ (pomocou dolného odhadu dokázať, že neexistuje lepšia konštrukcia).
• Ukážeme iba, že pre $n < a$ zadanie nemožno splniť (dolný odhad). Vtedy vieme, že hľadané najmenšie $n$ je aspoň $a$. Pre dokončenie úlohy potrebujeme nájsť konštrukciu splnenia zadania pre $n = a$ (pomocou konštrukcie dokázať, že neexistuje lepší dolný odhad).

V praxi to vyzerá tak, že postupne hľadáme lepšie konštrukcie a lepšie dolné odhady až sa nám naraz stretnú na jednej hodnote a riešenie je hotové.

Pre úlohy, kde hľadáme niečo najväčšie, platia obdobné zásady.

Diskusia v geometrii

Pri riešení geometrických úloh si väčšinou nakreslíme obrázok a úlohu riešime pomocou neho. Treba si dať pozor na to, že obrázok k úlohe môže vyzerať principiálne inak. Iným nakreslením obrázku (ak by bol nejaký uhol je väčší ako iný, ak by nejaký uhol bol tupý, ...) sa nám toho môže zmeniť veľa: uhly zmenia svoju veľkosť, body zmenia poradie na priamke, niektoré body splynú a pod. Pre úplné vyriešenie geometrických úloh je potrebné rozobrať všetky možné polohy bodov a pre každú opísať riešenie.

Ukážková úloha, kde je potrebná diskusia.

Väčšinou je riešenie totožné až na pár detailov: niektoré uhly sa zmenia na ich doplnky do $180^\circ$, na dokazovanie, že štyri body ležia na kružnici, použijeme iné uhly... Stačí, keď poriadne dokážeme jeden postup a na konci riešenia rozoberieme možné polohy bodov a pre každú opíšeme ako sa zmení naše riešenie.

Konštrukčné úlohy

Pri konštrukčných úlohách je dôležité vedieť, čo všetko sa v nich môže robiť a čo nie. Dočítaš sa bližšie o nich tu.