Máme dokázať, že nejaký trojuholník je rovnoramenný. Najjednoduchšie to ukážeme tak, že dokážeme rovnosť jeho dvoch uhlov. Preto budeme v riešení počítať uhly. No budeme musieť použiť aj pár netriviálnych vecí okrem štandardného uhlenia. Tak poďme na to.

Zjavne bod $\check{S}$ je Švrčkovým bodom oblúku $BC$. V riešení využijeme niektoré jeho vlastnosti. Ak ich nepoznáte, je dobré sa s nimi zoznámiť, napr. tu: https://mks.mff.cuni.cz/library/SvrckuvBodMV/SvrckuvBodMV.pdf.

Označme si $K$ priesečník priamky $J\check{S}$ s priamkou $BC$. Predpokladajme, že bod $P$ leží na oblúku $AB$. Využitím Shooting lemma vieme, že $|\check{S}B|^2=|\check{S}K||\check{S}P|$. Taktiež vieme, že bod $\check{S}$ je stred kružnice opísanej trojuholníku $BIC$, a preto $|\check{S}B|=|\check{S}I|$. Spojením týchto dvoch vzťahov dostávame, že $|\check{S}K||\check{S}P|=|\check{S}I|^2$. Z tohto vzťahu vyplýva podobnosť trojuholníkov $\check{S}KI$ a $\check{S}IP$ podľa vety $sus$, a preto $|\sphericalangle \check{S}KI|$=$|\sphericalangle\check{S}IP|$.

Pre jednoduchšie vyjadrovanie označujme pre body $X,Y$ na opísanej kružnici $\widehat{XY}$ veľkosť obvodového uhla nad oblúkom $XY$. Ak ste nikdy nepočítali uhly pomocu oblúkov, tak sa to skúste naučiť, je to vážne rýchlejšie :). Pri ňom je ešte veľmi nápomocná nasledujúca lema:

Lema. Ak body $X$, $Y$, $Z$, $W$ ležia v tomto poradí na kružnici a $T$ je priesečník $XZ$ a $YW$, tak $|\sphericalangle XTY|=\widehat{XY}+\widehat{ZW}$.

Dôkaz. Ak to nepoznáte, tak si to vyuhlite za domácu úlohu a zapamätajte.

Tak a teraz poďme na to: Vieme, že $$|\sphericalangle PA\check{S}|=\widehat{P\check{S}}=\widehat{PB}+\widehat{B\check{S}}=\widehat{PB}+\widehat{C\check{S}}=|\sphericalangle \check{S}KC|.$$

Pri poslednej rovnosti sme využili lemu. My vieme, že $|\sphericalangle \check{S}KC|=|\sphericalangle IKC|$, lebo $J$, leží na $\check{S}K$ a je to obraz $I$ v osovej súmernosti. Teraz už len dáme všetky pozorovania dokopy:

$$2|\sphericalangle PAI|=2|\sphericalangle \check{S}KC|=|\sphericalangle \check{S}KI|=|\sphericalangle\check{S}IP|=|\sphericalangle PAI|+|\sphericalangle API|$$

Keď sa na toto poriadne pozrieme, tak si uvedomíme, že trojuholník $PAI$ je naozaj rovnoramenný, čo sme chceli dokázať.

Pre úlpnosť by sme mali dodať, že naše riešenie funguje, aj ak $P$ leží na inom oblúku – zo symetrie stačí uvažovať už len prípad, že leží na oblúku $B\check{S}$. Tam sa akurát niektoré oblúky a uhly odčítajú, ale inak to funguje rovnako (premyslite si). A tak isto to funguje aj v dementnom prípade, ak $P\equiv B$.

Samozrejme úloha sa dala vyriešiť aj bez počítania pomocou oblúkov v strednej časti, a to prostým vyuhlením. Chcel som však túto techniku ukázať, lebo si myslím, že je dobré ju poznať. A tiež je dobré poznať vlastnosti Švrčkovho bodu.