Pri takýchto úlohách je vždy dobrý začiatok skúsiť si do obrázka niečo dokresliť a potom skúmať, či tam niečo zaujímavé nevidíme. Spôsobov, ako do obrázka niečo dokresliť, je mnoho a niektoré dávajú väčší zmysel ako iné. V tomto konkrétnom prípade dávalo zmysel veľa rôznych dokreslení, my si ukážeme dve z nich.

* *

Najprv skúsime dokresliť priamku rovnobežnú s úsečkou $EB$ prechádzajúcu bodom $D$. Bod, v ktorom pretne stranu trojuholníka $AC$, si nazveme $F$ a bod, v ktorom pretne predĺženú stranu $BC$, nazveme $G$. Čo v takomto obrázku vidíme? Viacero trojuholníkov vyzerá podobne, napríklad taký $\triangle MCE$ bude podobný s $\triangle DCF$ podľa vety uu . Keďže úsečky $DF$ a $ME$ sú rovnobežné, veľkosti uhlov $FDC$ a $EMC$ sú rovnaké, a uhol $FCD$ je spoločný. Vidíme, že trojuholník $MCE$ je menší, no vieme ho natiahnúť tak, aby sa prekryl s (zobrazil sa na) trojuholníkom $DCF$.

Zaujíma nás ako veľmi sa $\triangle MCE$ pri tom zväčší, alebo inak povedané koľkokrát sú strany $\triangle DCF$ dlhšie ako im prislúchajúce strany $\triangle MCE$. Nie je to príliš náročné, keďže $M$ leží v strede $DC$, strana $DC$ bude dvakrát dlhšia ako $MC$. Pozrieme sa teda na stranu $AC$ ktorá nás podľa zadania zaujíma, a s tým čo sme zistili vieme povedať, že strana $FC$ je dvakrát dlhšia ako strana $EC$ a teda platí, že $EC$ a $FE$ sú rovnako dlhé.

Fajn, toto však nie sú jediné podobné trojuholníky na obrázku, platí to aj pre $\triangle ADF$ a $\triangle ABE$, znova podľa uu ($|\sphericalangle AFD| =|\sphericalangle AEB|$ a $|\sphericalangle EAB|$ je spoločný). Znovu sa zamyslíme ako veľmi treba $\triangle ADF$ natiahnúť aby bol rovnako veľký ako $\triangle ABE$ – a vidíme že stačí potiahnúť bod $D$ do bodu $B$. Trojuholník $ABC$ je rovnoramenný, bod $D$ leží v strede strany $AB$, a teda platí $|AB|=2\cdot |AD|$. Pomer dĺžok prislúchajúcich strán $\triangle ABE$ a $\triangle ADF$ je teda znova $2$, a znovu sa môžme pozrieť na stranu $AC$. Platí $|AE|=2\cdot |AF|$, takže $|AF|=|EF|$.

A už máme všetko, čo potrebujeme, riešenie je zjavné. Platí $|AF|=|EF|$ a $|CE|=|EF|$, potom $|AF|=|EF|=|CE|$. Čiže $|AC|=3\cdot |CE|$ a $|AE|=2\cdot |CE|$.

Iné riešenie

Ako sme spomínali, ukážeme si dve riešenia, tu je druhé. Teraz využijeme symetriu rovnoramenného trojuholníka a dokreslíme si okolo neho obdĺžnik $ABXY$ tak, že bod $C$ leží v strede strany $XY$. Bod $M$ nám tak nejako intuitívne pripadá byť stredom nášho obdĺžnika, a bez väčšej námahy to aj vieme ukázať (nech sa páči). Úsečka $BM$ začína vo vrchole obdĺžnika a pokračuje do jeho stredu, ak ju teda predĺžime bude z nej uhlopriečka a narazí na bod $Y$. Rovnako zakreslíme aj druhú uhlopriečku $AX$.

* *

Teraz sa zamerajme na trojuholník $AXY$. Strana $AC$, ktorá nás podľa zadania zaujíma, spája jeho vrchol so stredom protiľahlej strany, bude teda ťažnicou. Bod $M$ delí uhlopriečky na polovice a teda leží v strede $AX$. Z toho ale vyplýva že aj $YM$ je ťažnica trojuholníka $AXY$. Bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice, nazývame ťažiskom a v tomto prípade je to bod $E$. Vieme že ťažisko leží v dvoch tretinách ťažnice, čo je dosť príhodné lebo to priamo dokazuje že $|AE|=2\cdot |CE|$. A voilà, máme hotovo!