Na začiatok si ujasnime dve veci:

• Zložené číslo je také celé kladné číslo $n$, ktoré nie je prvočíslom a je rôzne od $1$. Môžeme ho zapísať v tvare $n=a\cdot b$, kde $a$, $b$ sú tiež celé kladné čísla rôzne od $1$. (Príklad: $10=2\cdot5$.)

• Vlastný deliteľ je také celé kladné číslo $d$, ktoré delí zložené číslo $n$ a je rôzne od $1$ aj od $n$. (Príklad: $12$ má vlastných deliteľov $2$, $3$, $4$, $6$.)

Našou úlohou je nájsť také číslo $n$, aby všetky jeho vlastné delitele $d_i$ zväčšené o $1$ boli všetkými vlastnými deliteľmi $d_i+1$ iného zloženého čísla $m$. Nech teda $N={d_1, d_2, d_3, \dots, d_k}$ je množinou všetkých vlastných deliteľov čísla $n$ a $M={d_1+1, d_2+1, d_3+1, \dots, d_k + 1}$ je množinou všetkých vlastných deliteľov čísla $m$. Keďže najmenší vlastný deliteľ čísla $n$ je $d_1\ne 1$ (pretože v tom prípade by nebol vlastným deliteľom), tak najmenší vlastný deliteľ čísla $m$ je $d_1+1\ne2$, z čoho vyplýva, že číslo $m$ nebude môcť byť deliteľné dvomi, čiže bude nepárne a jeho vlastnými deliteľmi môžu byť len nepárne čísla.

Ak všetky vlastné delitele čísla $m$ sú nepárne, tak všetky vlastné delitele čísla $n$ musia byť naopak párne.

Ďalej si uvedomme, že ak $N$ obsahuje nejaké číslo $2^k\cdot p$, kde $p$ je nepárne prvočíslo, tak musí obsahovať aj $p$, pretože aj to bude vlastným deliteľom čísla $n$. Lenže ak $N$ obsahuje $p$, tak $M$ obsahuje $p+1$ a to je číslo párne (nepárne číslo zväčšené o $1$ je párne číslo), čo je v rozpore s predchádzajúcim zistením, že vlastné delitele čísla $m$ sú nepárne. Takže $N$ nemôže obsahovať číslo tvaru $2^k\cdot p$.

Pre názornosť:

• $2$

• $4=2\cdot2=2^2$

• $6=3\cdot2$

• $8=2\cdot2\cdot2=2^3$

• $10=5\cdot2$

• $12=3\cdot2\cdot2$

• $14=7\cdot2$

• $16=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4$

• $\dots$

Vidíme, že vhodné sú práve mocniny čísla $2$. V konečnom dôsledku rovnako tak aj číslo $n$ musí byť mocninou dvojky a platí, že ak $n=2^k$, potom $N={2, 2^2, 2^3, \dots ,2^{k-1}}={2, 4, 8, \dots ,2^{k-1}}$ a $M={3, 5, 9,\dots, 2^{k-1}+1}$.

Vezmime si teda $N={2}$. Vtedy je $n=4$, $M={3}$ a $m=9$. Ďalej ak $N={2, 4}$, $n=8$, potom $M={3, 5}$ a $m=15$. Ale ak $N={2, 4, 8}$, $n=16$, potom $M={3, 5, 9}$, najmenší spoločný násobok týchto troch čísel je číslo $45$, lenže to má vlastného deliteľa aj $15$ a teda nie je splnená podmienka, že množina $M$ obsahuje všetky vlastné delitele čísla $m$. Číslo $15$ bude vždy vlastným deliteľom čísla $m$ ak sú čísla $3,5$ a $9$ jeho vlastnými deliteľmi, teda ak sú čísla $2,4$ a $8$ vlastnými deliteľmi čísla $n$. Aby číslo $15$ bolo v množine $M$, tak v množine $N$ musí byť číslo 14. Avšak to už vieme, že takéto číslo byť v množine $N$ nemôže. Teda žiadne ďalšie $n=2^k$ nevyhovuje.

Pre každé ďalšie $n$ nebude množina $M$ spĺňať spomínanú podmienku a teda finálnym riešením sú hodnoty $n=4$ a $n=8$ a k nim prislúchajúce $m=9$ a $m=15$.