Naším prvým krokom bude spísanie si všetkých daných vecí:

• body $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ ležia na kružnici;

• bod $P$ je priesečníkom priamok $AC$ a $DF$, pričom $|AP|=|FP|$;

• bod $Q$ je priesečníkom priamok $AE$ a $BF$;

• priamka $PQ$ je osou uhla $APF$;

• $|BF|=|BD|$;

• $|AC|=|CE|$.

Našou úlohou je zistiť pomer obsahov trojuholníkov $ACE$ a $BDF$. Poďme teda na to.

Už pri prvom (dobrom) náčrte si môžeme všimnúť, že ide o symetrickú úlohu. Úsečky $AP$ a $FP$ sú rovnako dlhé, takže trojuholník $APF$ je rovnoramenný. Zjavne os základne rovnoramenného trojuholníka prechádza vrcholom oproti nej a je zhodná s osou uhla medzi ramenami. Keď tento fakt aplikujeme na našu úlohu, zistíme, že body $P$ a $Q$ ležia na osi úsečky $AF$. To znamená, že táto os je totožná s priamkou $PQ$. O nej zas vieme, že je osou uhla $APF$. Ľubovoľný bod na osi úsečky je rovnako vzdialený od jej krajných bodov. Ak teda $Q$ leží na osi úsečky $AF$, musí platiť, že $|AQ|=|FQ|$.

Teraz presuňme našu pozornosť na uhly. Zo zadania vieme, že trojuholníky $BDF$ a $ACE$ sú tiež rovnoramenné. Preto uhly pri ich základniach sú rovnaké, teda $|∢EAC|=|∢CEA|$ a $|∢DFB|=|CDF|$.

Vieme, že $|∢PFA|=|∢PAF|$ a taktiež $|∢AFQ|=|∢FAQ|$ (pretože $|AQ|=|FQ|$). Potom uhol $DFQ$, resp. $DFB$ vieme vyjadriť ako $180\si{\degree}-|∢PFA|-|∢AFQ|$. Podobne vieme uhol $CAQ$, resp. $CAE$ vyjadriť ako $180\si{\degree}-|∢PAF|-|∢FAQ|$. Z toho vidíme, že uhly $DFB$ a $CAE$ sú rovnaké.

Trojuholníky, ktoré máme porovnávať majú teda rovnaké vnútorné uhly – sú podobné. Pozor! To však ešte neznamená, že sú zhodné. Aby sme mohli povedať, že majú rovnako dlhé strany potrebujeme kružnicu. Každému trojuholníku vieme jednoznačne opísať kružnicu. Pre trojuholníky $ACE$ a $BDF$ je to tá istá kružnica. Označme si $S$ jej stred. Bod $S$ leží na osi strany $AF$ (úsečke $PQ$), pretože je rovnako vzdialený od oboch týchto bodov. Keď bod $S$ spojíme s ľubovoľnými dvoma bodmi z množiny ${A,B,C,D,E,F}$, tak vytvoríme rovnoramenný trojuholník, nakoľko bod $S$ je rovnako vzdialený od všetkých. Na základe toho vieme jednoducho dokázať, že aj $|∢FBD|=|∢ACE|=|∢BDF|=|∢CEA|=|∢DFB|=|∢EAC|$. Teda trojuholníky $ACE$ a $BDF$ sú rovnostranné. Majú tú istú opísanú kružnicu, z čoho vyplýva, že sú zhodné. Ak nevidíte prečo, tak si porátame dĺžku strany, ktorú si označíme $a$. Konkrétne ju vyjadríme pomocou polomeru kružnice.

* *

V rovnostrannom trojuholníku je stred opísanej kružnice aj ťažiskom. Ťažnice sú súčasne výškami. Polomer tvorí $\frac{2}{3}$ výšky. Teda $\frac{3}{2}r=v$. Výšku vieme vypočítať z Pytagorovej vety. Tá nám v tomto prípade tvrdí $a^2=v^2+(a/2)^2$, z čoho keď vyjadríme $a$ dostávame: $$a=\dfrac{2}{\sqrt3}v=\sqrt3 r.$$ Polomer je v oboch trojuholníkoch rovnaký, pretože majú tú istú opísanú kružnicu. Potom majú teda aj rovnaké strany. Tým je dokázané, že trojuholníky $ACE$ a $BDF$ sú zhodné a teda: $$ \dfrac{S_{ACE}}{S_{BDF}}=1. $$ Taktiež si môžete premyslieť, že trojuholník $BDF$ je vlastne otočením trojuholníka $ACE$ alebo naopak.