* *

Táto úloha sa dala vyriešiť viacero spôsobmi. Napríklad aj na menej ako štyri regulérne riadky:

Uhly $KSN$ a $VKS$ sú vonkajšie uhly trojuholníka $LKS$. Priesečník ich osí je stred kružnice pripísanej tomuto trojuholníku, podľa zadania je to taktiež bod $M$. Z definície týmto bodom prechádza aj os uhla $KLS$. Táto os pretína stanu $VN$ v jej strede, keďže $LVN$ je rovnoramenný. Bod $M$ leží na tejto osi aj na strane $VN$, ich priesečníkom je stred $VN$, a teda bod $M$ leží v strede strany $VN$.

Dalo sa na to samozrejme ísť aj inak. Keď si vyjadríme a doplníme všetky vnútorné uhly, všimneme si, že trojuholníky $KVM$, $KMS$ a $SMN$ majú rovnaké vnútorné uhly, a sú si teda podobné (pre uhly konkrétne platí, že $|\sphericalangle VKM|=|\sphericalangle MKS|=|\sphericalangle SMN|$, $|\sphericalangle KVM|=|\sphericalangle KMS|=|\sphericalangle MNS|$ a $|\sphericalangle VMK|=|\sphericalangle KSM|=|\sphericalangle MSN|$). Aby to bolo zjavnejšie, môžme si spraviť obrázok len s týmito troma trojuholníkmi, kde strany medzi rovnakými uhlami označíme rovnakým písmenkom.

* *

Teraz už si môžeme zostavovať rovnice od výmyslu sveta. Z toho, že trojuholníky sú si podobné vieme, že platí $y_3/y_2=x_3/x_2$. Keď sa pozrieme na obrázok, uvidíme, že $z_3=x_2$ a $y_2=z_1$. Tak to použijeme a dostaneme $y_3/z_1=x_3/z_3$. A už si len vyjadríme $y_3$ ako $y_3=z_1x_3/z_3$. Okej, toto si pamätáme, poďme spraviť nejakú inú rovnicu.

Napríklad $x_1/x_3=z_1/z_3$. Vyjadríme $x_1$ ako $x_1=x_3z_1/z_3$. Stačí sa pozrieť o odsek vyššie vidíme, že $x_1=y_3$. Tieto dve strany tvoria stranu $VN$, a keďže sú rovnaké, bod $M$ bude ležať v strede strany $VN$. Hotovo.