Prvé, čo si môžeme všimnúť je, že Maťkova postupnosť musí byť neklesajúca, lebo $a_n \geq a_{n-1}$. Preto $(a_{n+1}-a_n)$ je nezáporné, čiže môžeme odmocniť nerovnosť v zadaní. $$\begin{aligned} a_{n+1}-a_n &\leq \sqrt{a_n},\ a_{n+1} &\leq a_n + \sqrt{a_n}.\end{aligned}$$

Vidíme, že každý člen postupnosti je nejak zhora obmedzený podľa predchádzajúceho člena a postupnosť je neklesajúca. Medzi každými dvomi po sebe idúcimi členmi $a_{n-1}$, $a_n$ musí byť nejaká druhá mocnina prirodzeného čísla (skrátene štvorec), lebo tam je $(a_{n+1}-a_n)^2$. Myšlienka nášho postupu bude, že druhé mocniny rastú rýchlejšie ako Maťkova postupnosť, preto sa niekde pokazí táto podmienka, a medzi nejakými dvomi nasledujúcimi členmi nebude štvorec.

Formálne, predpokladajme, že existuje vyhovujúca Maťkova postupnosť, a prídeme k sporu. Máme vzťah $a_{n+1} \leq a_n + \sqrt{a_n}$, v ktorom môžeme člen $a_n$ znovu odhadnúť podľa rovnakého spôsobu a pohrať sa s úpravou výrazu, ktorý dostaneme. $$\begin{aligned} a_{n+1} &\leq a_n + \sqrt{a_n} \leq a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}}} = a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{ \left( \sqrt{a_{n-1}} + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}} <\ % &< a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{ \left( \sqrt{a_{n-1}} + \frac{1}{2} \right)^2} = a_{n-1} + 2 \sqrt{a_{n-1}}+\frac{1}{2} < (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2\end{aligned}$$

V intervale $ \left\langle \sqrt{a_{n-1}}, \sqrt{a_{n-1}}+1 \right)$ leží len jedno celé číslo. Po umocnení na druhú dostaneme, že v intervale $ \left\langle a_{n-1}, (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2 \right)$ je najviac jeden štvorec. Keďže $a_{n+1} < (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2$, tak v intervale $ \left\langle a_{n-1}, a_{n+1} \right\rangle$ leží najviac jeden štvorec.

Vieme, že v oboch intervaloch $A= \left\langle a_{n-1}, a_{n} \right\rangle$ a $ B= \left\langle a_{n}, a_{n+1} \right\rangle$ je štvorec, ale v ich zjednotení $ \left\langle a_{n-1}, a_{n+1} \right\rangle$ je najviac jeden štvorec, Čiže štvorec v A musí byť ten istý štvorec ako v B. Intervaly A, B majú len jeden spoločný bod $a_{n}$, čiže $a_{n}$ je štvorec.

Pre všetky $n \leq 3$ sme dokázali, že $a_{n}$ je štvorec. Čísla $a_{3}$, $a_{4}$ musia byť rôzne štvorce, lebo $(a_4-a_3)^2 \geq a_2 \geq 1$, ale zároveň v intervale $ \left\langle a_{2}, a_{4} \right\rangle$ môže byť najviac jeden štvorec, a to je SPOR.

V jedálni neservírujú ani jednu z Maťkových obľúbených postupností príloh.