8. Kámo, Mokrý Si!
Zadanie
Po niekoľkých prechádzkach si Vodička všimol, že vždy skončil v Rýne, to je taká veľká Vodička. Kto by však chcel zmoknúť pri každej prechádzke? Ukážte Vodičkovi, že všetky cesty vedú do Rýna. Máme štvoruholník $ABCD$ taký, že existuje bod $O$ taký, že platia následujúce vzťahy: $ |\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle BOC|=|\sphericalangle COD|=|\sphericalangle DOA|=90^\circ$. Označme $P$ priesečník kružníc opísaných trojuholníkom $ABO$ a $CDO$ (rôzny od bodu $O$) a $R$ priesečník kružníc opísaných trojuholníkom $DAO$ a $BCO$ (rôzny od bodu $O$). Označme $T$ priesečník priamok $p$, $r$, pričom $P\in p$, $p\perp OP$ a $R\in r$, $r\perp OR$. Dokážte, že priamka $OT$ a spojnice stredov protiľahlých strán štvoruholníka $ABCD$ sa pretínajú v jednom bode.
Najprv si všimneme, že čo vlastne zadanie hovorí o priamkach $AO$, $BO$, $CO$, $DO$. To, že $|\sphericalangle AOB|=90^\circ$ nám hovorí, že $AO\perp BO$. Takisto uhly $BOC$, $COD$, $DOA$ nám hovoria, že $BO \perp CO$, $CO\perp DO$, $DO \perp AO$. Z toho nám jednoznačne vyplýva, že trojice bodov $A,O,C$ a $B,O,D$ ležia na priamkach, ktoré sú na seba kolmé. Poďme nájsť význam bodov $P$, $R$. Zo zadania je jasné, že štvoruholníky $ABOP$, $CDOP$, $ADOR$, $BCOR$ sú tetivové (body $P$ a $R$ sú definované ako body na kružniciach opísaných trojuholníkom).
Uvažujme teraz druhé priesečníky priamok $p$, resp. $q$ s kružnicami $ABOP$, $CDOP$, resp. $ADOR, BCOR$.[^1] Nech sú to body postupne $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$. Všimnime si, že tieto body vďaka kolmostiam $OP\perp p$ a $OR\perp r$ sú body protiľahlé k bodu $O$ v danej kružnici. Ale vieme, že dva rôzne priemery jednej kružnice tvoria obdĺžnik, teda štvoruholníky $AOBP_1$, $CODP_2$, $DOAQ_1$, $BOCQ_2$ sú obdĺžniky. Z toho vyplýva (z kolmosti $AC$ a $BD$ v bode $O$), že $P_1Q_1P_2Q_2$ je tiež obdĺžnik. Taktiež vieme, že $P_1,\,P_2,\,T \in p$ a $Q_1,\,Q_2,\,T \in q$, a vieme aj to, že $T$ je stred tohto obdĺžnika. Po spozorovaní toľkýchto vecí sa pustime do dôkazu žiadaného tvrdenia: Nech sú stredy úsečiek $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ postupne $A_0$, $B_0$ ,$C_0$, $D_0$. Všimnime si, že stredy malých obdĺžnikov $AOBP_1$, $BOCQ_2$, $CODP_2$, $DOAQ_1$ sú postupne $A_0$, $B_0$, $C_0$, $D_0$, pretože sú stredom jednej z uhlopriečok. Zamyslime sa, čo vlastne spraví s bodmi $P_1$, $Q_2$, $P_2$, $Q_1$ rovnoľahlosť so stredom v bode $O$ a koeficientom $\frac{1}{2}$. Odpoveď je jednoduchá, prenesie ich postupne na body $A_0$, $B_0$, $C_0$, $D_0$. Tak sa priamky $P_1P_2 \equiv p$ a $Q_1Q_2 \equiv q$ zobrazia na priamky $A_0C_0$ a $B_0D_0$. A čo s ich priesečníkom? Je to obraz $T$, teda je nutne na priamke $OT$. Súčasne je to aj priesečník priamok $A_0C_0$ a $B_0D_0$. Takže sme ukázali, že priesečník dvoch priamok leží nutne na tretej priamke. A tým je tento dôkaz hotový.
Diskusia: Môže sa zdať, že je potrebný rozbor prípadov, čo sa týka konvexnosti $ABCD$. Lenže sme nikde nevyužili žiadnu úvahu o polohe bodu $O$ a naše pozorovania a myšlienky platia aj pre prípad nekonvexného štvoruholníka a tým je dôkaz naozaj hotový pre ľubovoľný štvoruholník $ABCD$.
**
- Kružnicou $KLMN$ označujeme kružnicu, ktorá je opísaná tetivovému štvoruholníku $KLMN$.↩
