Bod $S$ je stred kružnice opísanej $\triangle ALO$. To znamená, že body $A, L$ a $O$ sú od bodu $S$ rovnako vzdialené. Stačí nám teda zistiť ktorúkoľvek z dĺžok $|SA|, |SL|$ alebo $|SO|$. Keď sme si to tak zhruba $1000$-krát nakreslili, tak začneme mať tušenie, že aj dĺžka $SL$ je $l$. Tak hor sa to dokázať! Pozrime sa na štvoruholník $LSAE$. Strany $EL$ a $AE$ majú dĺžku $l$, pretože je to strana štvorca alebo strana rovnostranného trojuholníka, ktorého strana je zhodná so stranou štvorca. Bod $E$ je teda rovnako vzdialený od bodov $A$ a $L$. Aj bod $S$ je rovnako vzdialený od bodov $A$ a $L$. To znamená, že body $E$ aj $S$ ležia na osi úsečky $AL$. Označme si priesečník úsečiek $LA$ a $ES$ ako $P$.

Vieme, že to je súčasne stred úsečky $AL$, pretože priamka $ES$ je osou úsečky $AL$. Teda úsečky $LP$ a $AP$ sú rovnako dlhé. Pri bode $P$ máme $4$ pravé uhly, lebo $ES$ je os úsečky. Teda uhol $APS$ je zhodný s uhlom $LPE$. Ak by sa nám podarilo dokázať, že aj uhol $PAS$ je zhodný s uhlom $PLE$, tak podľa vety $usu$ sú trojuholníky $APS$ a $LPE$ zhodné, a teda dĺžka $AS$ je zhodná s dĺžkou $LE$, ktorá je $l$. Bod $S$ leží na osi úsečky $LO$, pretože je rovnako vzdialený od bodov $L$ a $O$. Bod $A$ leží na osi úsečky $EV$, pretože trojuholník $AVE$ je rovnostranný a teda $|EA|=|VA|$. Úsečky $LO$ a $VE$ sú protiľahlé strany štvorca. To znamená že ich osi sú totožné. Teda body $A$ a $S$ ležia na osi $LO$. Priamka $AS$ je kolmá na $LO$. Priamka $LE$ je kolmá na $LO$. Z toho vyplýva, že priamky $EL$ a $AS$ sú rovnobežné. Uhly $PAS$ a $PLE$ sú striedavé, čiže aj zhodné. Trojuholníky $APS$ a $LPE$ sú zhodné. Dĺžka úsečky $SA$ je $l$. To znamená, že aj dĺžka strany $SL$ je $l$. Pomer dĺžky $l$ ku dĺžke strany $|SL|$ je $1$.

Analytické riešenie

Uložme si body do súradnicovej sústavy ako je na obrázku.

Vieme, že bod $A$ je rovnako vzdialený od bodov $E$ a $V$, a preto je jeho $x$-ová súradnica $l/2$. Vypočítajme $y$-ovú súradnicu. Spravíme to pomocou Pytagorovej vety, a síce sa pozrime na pravouhlý trojuholník, ktorý vznikne z rovnostranného trojuholníka $AVE$, keď ho rozdelíme pomocou osi strany $EV$. Prepona je dĺžky $l$, jedna odvesna je $l/2$ a druhá je $x$. Platí $l^2 = (l/2)^2 + x^2$. Z toho vyplýva, že $x=(\sqrt{3}/2)l$.

Vieme, že bod $S$ má $x$-ovú súradnicu $l/2$, pretože je rovnako vzdialený od bodov $L$ a $O$. Bod $S$ je rovnako vzdialený aj od bodov $L$ a $A$. Vzdialenosť od bodu $L$ je $\sqrt{(l/2-0)^2 + (y-(-l))^2}$. Vzdialenosť od bodu $A$ je $\sqrt{(l/2-l/2)^2 + (y-(\sqrt{3}/2)l)^2}$. Máme rovnicu $$\sqrt{(l/2-0)^2 + (y-(-l))^2} = \sqrt{(l/2-l/2)^2 + (y-(\sqrt{3}/2)l)^2},$$ $$\sqrt{l^2/4 + y^2 + 2yl + l^2} = \sqrt{0^2 + y^2 - 2y(\sqrt{3}/2)l) + (3/4)l^2}.$$ Z nej dopočítame $y=-l/(2\sqrt{3}+4)$. Súradnice bodu $S$ sú $[l/2, -l/(2\sqrt{3}+4)]$. Teraz už len vypočítame dĺžku $SL$. Vieme, že dĺžka $SA$ je rovnaká, a tá sa dá vypočítať asi trošku jednoduchšie. $$|SA|=\sqrt{(l/2-l/2)^2 + \left(-l/(2\sqrt{3}+4)-(\sqrt{3}/2)l \right)^2} = \dfrac{l(1+ \sqrt{3}(\sqrt{3}+2))}{2\sqrt{3}+4}.$$ Po troche úprav sa nám podarí získať želaný výsledok, a síce, že $|SL| = |SA| = l$.