V zadaní máme premenné $a$, $b$, $c$ a dve podmienky na tieto premenné: $a+b+c=0$ a $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$. Našou úlohou je ukázať, že tieto dve podmienky sú ekvivaletné. To znamená, že obe z nich sú splnené presne pre tie isté trojice hodnôt $(a,b,c)$, pričom $a$, $b$, $c$ sú reálne čísla, z ktorých sú aspoň dve rôzne.

Keď chce od nás zadanie dokázať ekvivalenciu, mali by sme si uvedomiť, že máme dokázať dve implikácie. V tomto prípade potrebujeme ukázať:

1. Ak platí $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$, tak potom platí aj $a+b+c=0$.

2. Ak platí $a+b+c=0$, tak potom platí aj $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$.

Poďme na to.

Dôkaz prvej implikácie

Predpokladajme, že $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$. Vieme, že niektoré dve premenné musia byť rôzne. Vďaka symetrickosti výrazov si môžeme bez ujmy na všeobecnosti povedať, že sú to $a$, $c$. Zoberme si rovnosť prvých dvoch výrazov a upravujme ju: $$\begin{aligned} a^2+ab+b^2 &= b^2+bc+c^2,\ a^2 - c^2 + ab - bc &= 0,\ (a - c)(a + c) + b(a - c) &= 0,\ (a - c)(a + b + c) &= 0.\end{aligned}$$ Keďže $a \ne c$, tak $a - c$ je nenulové a musí platiť $a + b + c = 0$.

Dôkaz druhej implikácie

Predpokladajme, že $a + b + c = 0$. Teraz si môžeme vyjadriť $a = - b - c$ a dosadiť ho výrazov $$\begin{aligned} a^2 + ab + b^2 &= b^2 + 2bc + c^2 -b^2 - bc + b^2 = b^2 + bc + c^2,\ c^2 + ca + a^2 &= c^2 - bc - c^2 + b^2 + 2bc + c^2 = b^2 + bc + c^2.\end{aligned}$$ Dostali sme, že platí $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$.

Záverečný komentár

Odporúčame vám vždy si rozdeliť dôkaz ekvivalencie na dve implikácie a neskúšať ich dokazovať naraz. Ľahšie si tak odkontrolujete, či ste niečo neprehliadli. (A taktiež to ľahšie skontroluje opravovateľ, čím ho potešíte ;)) Mnohým riešiteľom sa to nepodarilo a stratili tak zbytočné body.

Keď už máme túto formu riešenia, ľahšie nám pôjde ďalej prichádzať na riešenie. Ako sme mohli vidieť, pri úlohách s výrazmi sa oplatí ich upravovať, dávať na jednu stranu, rozkladať na súčin, vyjadrovať si premenné a dosadzovať za ne.

Samotné riešenie úlohy sme uviedli pomerne stručné. Je to hlavne preto, aby ste si mohli pozrieť, čo stačí napísať do vašich riešení. V tomto prípade sú to dve sekcie, kde dokazujeme jednotlivé implikácie. Preto pri prvej implikácii vás mohlo prekvapiť, ako sme vedeli, že zrovna $a$ a $c$ majú byť rôzne. Pri hľadaní riešenia si to všimneme až potom, čo sa dostaneme k rovnosti $(a - c)(a + b + c) = 0$. Tu vidíme, žeby sa nám hodilo, že zrovna $a$ a $c$ sú rôzne. To si, samozrejme, môžeme povedať. Formálne je však elegantnejšie napísať túto úvahu už na začiatku nášho riešenia.