Prvým krokom je všimnúť si, že sa v úlohe môžeme veľmi ľahko zbaviť bodov $D,E,F$ a pracovať už iba s trojuholníkom $ABC$ a bodmi $P,X,Y,Z$. Ako to? Označme veľkosť uhla $CBP$ ako $\delta$ a veľkosť uhla $BCP$ ako $\epsilon$. Keďže body $B,C,E,F$ ležia na kružnici, môžeme využiť vetu o obvodovom uhle a uvidíme, že $|\sphericalangle CFE|=\delta$ a $|\sphericalangle BEF|=\epsilon$.

Na to, aby $ZYEF$ bol tetivový, musí platiť šikovné kritérium na tetivovosť štvoruholníka, ktoré je spolu s obvodovými uhlami často najpraktickejším spôsobom, ako tetivovosť dokazovať alebo ju využívať. Kritérium je založené na fakte, že štvoruholník je tetivový práve vtedy, keď súčet protiľahlých uhlov dáva $180^{\circ}$, avšak v praxi sa ešte častejšie využíva iná forma tohto kritéria. Tá hovorí, že štvoruholník je tetivový práve vtedy, keď susedný uhol k niektorému z uhlov štvoruholníka má rovnakú veľkosť, ako jemu protiľahlý uhol (tomu uhlu zo štvoruholníka).

V kontexte našej úlohy dostaneme, že tetivovosť štvoruholníka $EFZY$ je ekvivalentná s $|\sphericalangle CZY|=|\sphericalangle BEF|$ a tiež s $|\sphericalangle BYZ|=|\sphericalangle CFE|$. To sa dá vďaka rovnostiam z prvého odstavca prepísať na $|\sphericalangle CZY|=\epsilon$ a $|\sphericalangle BYZ|=\delta$. Wau! Takže máme vlastne dokázať, že priamka $ZY$ je rovnobežná s priamkou $BC$ (vďaka striedavým uhlom). Tým sme sa úspešne takmer zbavili celej kružnice a bodov $D,E,F$ (okrem toho, že $Z,Y$ stále musia byť také, aby ležali na úsečkách zo zadania).

V tomto zjednodušenom nastavení sa už iba treba trochu pohrať s rovnobežnosťami zo zadania, ktoré sme ešte stále nevyužili. Rovnobežnosť dvoch úsečiek, ktorých vrcholy sú tak pekne do kríža prepojené, ako v našom prípade cez bod $P$¹ (dokonca všetkých troch zainteresovaných dvojíc), je ekvivalentná s tým, že tie úsečky sú rovnoľahlé so stredom rovnoľahlosti $P$ (v našom kontexte). Alebo, že trojuholníky tvorené stredom rovnoľahlosti a vrcholmi úsečiek sú rovnoľahlé. V tomto prípade chceme ukázať rovnoľahlosť trojuholníkov $PYZ$ a $PBC$.

Využijeme rovnoľahlosť trojuholníkov $PYX$ a $PBA$ a trojuholníkov $PZX$ a $PCA$, ktoré vyplývajú z rovnobežnosti priamok $XY$ a $BA$ a priamok $XZ$ a $CA$. Z týchto plynú nasledovné rovnosti: $$\frac{|PY|}{|PX|}=\frac{|PB|}{|PA|} \quad \text{a} \quad \frac{|PZ|}{|PX|}=\frac{|PC|}{|PA|}.$$ Vydelením týchto dvoch rovností dostávame: $$\frac{|PY|}{|PZ|}=\frac{|PB|}{|PC|}.$$ Toto je presne vyjadrenie rovnoľahlosti úsečiek $YZ$ a $BC$, čo sme chceli dokázať.