Máme rovnicu s celými číslami, takže sa oplatí pozrieť na nejaké deliteľnosti. Preto si ľavú stranu napíšeme ako súčin.

Ak $n<m$, $$n! \left.\big[ 1+(n+1)(n+2) \cdots (m-1)m \right.\big] =m^n.$$

Zátvorka $[1+(n+2) \cdots m]$ má zvyšok $1$ po delení $m$, takže je nesúdeliteľná s $m$, a teda aj s $m^n$. Zároveň táto zátvorka delí ľavú stranu, takže delí aj pravú stranu rovnosti. To je nejaké podozrivé a privádza nás to k nasledujúcemu tvrdeniu (rozmyslite si, že naozaj platí):

Ak nesúdeliteľné prirodzené čísla $a$, $b$ spĺňajú $a \mid b$, tak $a=1$.

Podľa tohto tvrdenia by musela byť zátvorka $[1+(n+2) \cdots m]$ rovná $1$, ale zjavne je aspoň $2$, takže tadiaľto cesta k riešeniam nevedie.

Ak $n \geq m$, $$\begin{aligned} m! \left( 1+\dfrac{n!}{m!} \right) =m^n, \ 1 \cdot 2 \cdot\ \cdots\ \cdot(m-1)\cdot m \left( 1+\dfrac{n!}{m!} \right) =m^n.\end{aligned}$$

Ľavá strana je deliteľná číslom $(m-1)$, takže je aj pravá strana deliteľná $(m-1)$. Keďže $(m-1)$ je nesúdeliteľné s $m^n$, tak podľa tvrdenia $m-1=1$, teda $m=2$. Pôvodná rovnica má tvar $$\begin{aligned} n!+2!&=2^n, \ n!=2^n-2&=2(2^{n-1}-1).\end{aligned}$$

Zátvorka $(2^{n-1}-1)$ je nepárna alebo rovná $0$. Rovná $0$ nie je, lebo $n! \neq 0$. Vidíme, že $2$ sa vyskytuje v prvočíselnom rozklade pravej strany $1$-krát. Preto $n!$ musí obsahovať $2$ v prvočíselnom rozklade tiež len $1$-krát. To sa stane len, keď $n \leq 3$. Vyskúšame všetky $3$ možnosti a zistíme, že všetky riešenia sú $$\begin{aligned} (n,\ m)=(2,\ 2): \qquad 2!+2!=4=2^2, \ (n,\ m)=(3,\ 2): \qquad 3!+2!=8=2^3.\end{aligned}$$