Prvý (a asi najdôležitejší) krok je určiť si BUNV¹ $a_1\leq \dots \leq a_n$. Toto spraviť môžeme, pretože tak či tak sa každá dvojica $a_i+a_j$ bude vyskytovať v usporiadanej aj neusporiadanej postupnosti práve raz. Môžeme dokonca uBUNVovať aj viac – môžeme povedať že $a_0=0$ a diferencia výslednej aritmetickej postupnosti $d=1$, ale toto nebudeme potrebovať.

Označme si pár vecí, aby sa nám krajšie pracovalo. Nech $MAX=n(n-1)/2$. Našu aritmetickú postupnosť si označme ako ${b_k: k\leq MAX}$, t. j. $b_k=a_i+a_j$ je $k$-ty najmenší člen (pre nejakú dvojicu $i,j$). Taktiež si označme $d=b_k-b_{k-1}$ jej diferenciu (diferencia je všeobecný pojem pre rozdiel dvoch členov aritmetickej postupnosti).

Zjavne najmenší súčet budú tvoriť dve najmenšie čísla, teda $b_1=a_1+a_2$. Obdobne aj $b_2=a_1+a_3$, $b_{MAX}=a_{n-1}+a_n$ a $b_{MAX-1}=a_{n-2}+a_n$. Verte či nie, už je to skoro vyriešené. Ak si vezmeme, že platí $$b_1+b_{MAX}=b_1+b_{MAX-1}+d=b_2+b_{MAX-1},$$ tak po rozpísaní získame $$(a_1+a_2)+(a_{n-1}+a_n)=(a_1+a_3)+(a_{n-2}+a_n),$$ $$a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}.$$

A máme hotovo. Čože? Kde je riešenie? Ak $n>5$, tak obe strany rovnice sú niektoré rôzne členy v našej postupnosti ${b_k}$, pretože postupnosť ${b_k}$ je tvorená z členov $a_i+a_j$ pre všetky $i,j\leq n$. Ak sa ale dva členy v aritmetickej postupnosti rovnajú, tak musí byť celá postupnosť konštantná, pretože jej diferencia je 0. Teda aj pôvodná postupnosť ${a_k}$ musí byť konštantná.

Treba ale rozlíšiť prípad $n=5$, na ktorý sa ľahko zabudne. Pre $n=5$ platí $a_2+a_4=2a_3$, resp. $a_4-a_3=a_3-a_2=b_2-b_1=d$. Za súčtom $b_2=a_1+a_3$ musí nasledovať súčet $b_3=a_1+a_4$, pretože je presne o $d$ väčší. Z tohto rovno vyplývajú iba dve možné poradia, ktoré môžu nastať:

$$a_1+a_2<a_1+a_3<a_1+a_4<a_1+a_5<a_2+a_3<a_2+a_4<a_3+a_4<a_2+a_5<a_3+a_5<a_4+a_5,$$

$$a_1+a_2<a_1+a_3<a_1+a_4<a_2+a_3<a_2+a_4<a_3+a_4<a_1+a_5<a_2+a_5<a_3+a_5<a_4+a_5.$$

V prvom prípade stačí odčítať $d=(a_1+a_5)-(a_1+a_4)=a_5-a_4$, z čoho dostávame $a_2+a_5=a_2+a_4+d=a_3+a_4$.V druhom prípade dostaneme obdobne $a_1+a_4=a_2+a_3$. Každopádne sme teda našli dva rôzne členy v $b$-čkovej postupnosti, ktoré majú rovnakú hodnotu, a teda nutne celá postupnosť musí byť konštantná.