1. Konkretizátor Matrodej Skresáva
Zadanie
Bolo štvrtého januára, keď sme dorazili ku Bránam Abstrakcie. Teda, buď bolo štvrtého januára, alebo štyritisíceho dodekatóbra, keďže náš kalendár podľahol Abstrakcii ako prvý, a okrem toho sa ani nedalo hovoriť o Bránach – skôr o Nenápadných Dvierkach V Stene Za Ohybom Rieky, Ledva Vysokých Pre Urasteného Školáka. Ani sme sa nenamáhali rozložiť stany, keďže sme vedeli, čo sa s niečím tak zložitým stane po vystavení Abstrakcii, a rovno sme sa pokúsili Dvere otvoriť. Na to potreboval Matrodej Lambzduch uplatniť svoj Konkretizátor, žiaľ, prístroj mu pred očami začal obrastať dokonalými geometrickými útvarmi a Lambzduch musel narýchlo zisťovať, kde končí Konkretizátor a kde začína akési euklidovské čudo.
V lichobežníku $ABCD$, kde $AB \parallel CD$, platí $|AB| = 2\cdot|CD|$. Označme $K, L$ postupne stredy strán $BC, CD$. Vypočítajte obsah trojuholníka $AKL$, ak obsah $ABCD$ je $12$.
Obsah lichobežníka vieme vypočítať ako $$\frac{(|AB|+|CD|) \cdot v}{2},$$ kde $v$ je jeho výška. Zo zadania vieme, že $|AB| = 2|CD|$, a že obsah $ABCD$ je $12$. Preto musí platiť: $$\frac{(3|CD|) \cdot v}{2} = 12,$$ teda $\mathbf{|CD| \cdot v = 8}$.
O obsahu samotného trojuholníka $AKL$ toho zatiaľ nevieme veľa povedať, ale môžeme sa skúsiť pozrieť na trojuholníky $LDA$, $ABK$ a $KCL$.
Obsah trojuholníka $LDA$ je $\frac{|LD|\cdot v}{2}$, keďže výška tohto trojuholníka na stranu $LD$ je tiež výškou lichobežníka $ABCD$, a teda jej dĺžka je $v$. Keďže bod $L$ leží v strede strany $CD$, tak platí, že $|LD| = \frac{|CD|}{2}$, preto obsah trojuholníka $LDA$ je $$\frac{\frac{|CD|}{2} \cdot v}{2}.$$ Keďže už vieme, že $|CD|\cdot v = 8$, tak potom $$\frac{\frac{|CD|}{2} \cdot v}{2} = \frac{8}{4}=2,$$ teda obsah trojuholníka $\mathbf{LDA}$ je $\mathbf{2}$.
Keď si zoberieme pomocnú úsečku $XY$, ktorá tvorí výšku lichobežníka $ABCD$ a prechádza bodom $K$, tak zároveň úsečka $XK$ tvorí výšku trojuholníka $ABK$ na stranu $AB$ a úsečka $YK$ tvorí výšku trojuholníka $KCL$ na stranu $CL$. Ukážeme si, že obe tieto úsečky majú dĺžku $\frac{v}{2}$.
Keďže $XY$ je výškou lichobežníka $ABCD$, tak $|XY| = v$. Platí aj, že $|\sphericalangle BXK| = |\sphericalangle CYK|$ (pravé uhly), $|\sphericalangle BKX| = |\sphericalangle CKY|$ (vrcholové uhly), a teda aj $|\sphericalangle XBK| = |\sphericalangle YCK|$. Okrem tohto ešte vieme, že bod $K$ leží v strede strany $BC$, teda $|BK| = |CK|$. Preto sú trojuholníky $BXK$ a $CYK$ zhodné, a teda $|XK| = |YK| = \frac{v}{2}$. S týmito informáciami už jednoducho dopočítame aj obsahy trojuholníkov $ABK$ a $KCL$.
Obsah trojuholníka $\mathbf{ABK}$ môžeme vypočítať ako $$\frac{|AB|\cdot |XK|}{2} = \frac{2|CD|\cdot \frac{v}{2}}{2} = \frac{|CD| \cdot v}{2} \mathbf{= 4},$$ keďže $|CD|\cdot v = 8$.
Vieme, že bod $L$ leží v strede strany $CD$, teda $|CL| = \frac{|CD|}{2}$, preto obsah trojuholníka $\mathbf{KCL}$ zas môžeme vypočítať ako $$\frac{|CL|\cdot |YK|}{2} = \frac{\frac{|CD|}{2} \cdot \frac{v}{2}}{2} = \frac{|CD| \cdot v}{8} \mathbf{= 1},$$ keďže $|CD|\cdot v = 8$.
Keď už poznáme obsahy trojuholníkov $LDA$, $ABK$ a $KCL$, tak obsah trojuholníka $AKL$ ľahko dopočítame, ak od obsahu celého lichobežníka odpočítame obsahy týchto troch trojuholníkov, teda obsah trojuholníka $\mathbf{AKL}$ je $\mathbf{12-2-4-1 = 5}$.
