6. Krepčíme Mihom Šípky
Zadanie
„Jubilár, ty chrbtobodajúci chrcheľ!“ zareval som na breh, keď nás zobudila salva šípov. Žiaľ, jeden šíp sa počas letu zabstrahoval na Navier-Stokesove rovnice, ktoré pokrkvali bezbranného Matrodeja ako prázdnu plechovku od gumidžúsu a ešte s ním šmarili niekoľko kilometrov proti prúdu. Videl som, ako mu pri tom vypadol z vrecka Konkretizátor a padol do vody. Schmatol som Krutitruľa za rukáv a vrhol som sa do Červenej rieky, aby som Konkretizátor vylovil, no ako som padal, hladina rieky sa zákerne zabstrahovala na akýsi štvoruholník a ja som musel bleskovo uvažovať.
V štvoruholníku $ABCD$ platí $|AD| = |AB| + |CD|$. Osi uhlov $BAD$ a $ADC$ sa pretínajú v bode $P$. Dokážte, že platí $|BP| = |CP|$.
Tento vzorák si môžete pozrieť aj vo videopodobe: https://youtu.be/tK8I4mn9CgI
Najprv sa zamyslíme, čo nám hovorí vzťah o súčte $|AB|+|CD|=|AD|$, a ako si ho môžme vyjadriť geometricky. Jeden spôsob, ktorý sa hneď preukáže byť veľmi užitočný, je uvedomenie, že na stranu $AD$ môžme umiestniť bod $X$ tak, že $|XA|=|AB|,|XD|=|CD|$. Teraz je načase narysovať si osi uhlov $BAD$ a $ADC$, nájsť bod $P$, a narysovať úsečky $PC$ a $PB$. A ešte si narysujme úsečku $PX$, lebo sa nám hneď preukáže byť užitočná:
Pozrime sa teraz na trojuholníky $APX$ a $APB$. Keďže $|AX|=|AB|$, $|\sphericalangle XAP|=|\sphericalangle PAB|$ a stranu $AP$ zdieľajú, vidíme, že sú zhodné. Z toho vidíme, že $|PX|=|PB|$.
Ten istý argument funguje pre trojuholníky $DPX$ a $DPC$, z ich zhodnosti vidíme, že $|PC|=|PX|$. A keďže $|PC|=|PX|=|PB|$, vidíme, že $|PC|=|PB|$.
