Zaujíma nás, čo sa bude diať, ak súčet čísel $a$, $b$, $c$ nie je deliteľný číslom $3$, preto nemusíme riešiť, čo sa bude diať, ak je súčet čísel $a$, $b$, $c$ deliteľný číslom $3$. Teda napríklad možnosť, že všetky čísla majú rôzne zvyšky po delení číslom $3$. Vtedy si čísla $a$, $b$, $c$ môžeme zapísať ako: $3k$, $3l + 1$, $3m + 2$, kde $k$, $l$, $m$ sú prirodzené čísla. Ich súčet potom bude: $3(k + l + m + 1)$, čiže bude deliteľný číslom $3$. Túto možnosť teda môžeme vylúčiť.

O ostatných možnostiach vieme určite povedať, že v každej z nich budú mať aspoň dve z čísel $a$, $b$, $c$ rovnaký zvyšok po delení číslom $3$ (lebo možnosť, že budú mať všetky $3$ čísla rôzne zvyšky sme už vylúčili). Keďže v jednotlivých zátvorkách výrazu $(a - b)(b - c)(c - a)$ máme všetky možné dvojice týchto čísel, tak v niektorej z nich bude musieť byť aj dvojica, ktorá má rovnaký zvyšok po delení číslom $3$. Ak ale od seba odčítame dve čísla, ktoré dávajú rovnaký zvyšok po delení číslom $3$, tak výsledkom bude číslo deliteľné $3$, keďže vtedy si zas môžeme tieto dve čísla zapísať ako: $3k + x$, $3l + x$, kde $k$ a $l$ sú nezáporné celé čísla a $x$ je ich zvyšok po delení číslom $3$. Ich rozdiel potom bude $3(k-l)$ alebo $3(l-k)$, čo je v oboch prípadoch násobok čísla $3$. Takže ak súčet čísel $a, b, c$ nebude deliteľný $3$, musí byť aspoň jedna zo zátvoriek výrazu $(a - b)(b - c)(c - a)$ deliteľná číslom $3$, a preto potom aj celý súčin bude deliteľný číslom $3$.