Pre každého vedúceho treba nachystať tanier s dvoma palacinkami. Veronika má nachystaných $25$ okrúhlych tanierov usporiadaných do štvorca s piatimi riadkami a piatimi stĺpcami. Na začiatku sú všetky taniere prázdne. Veronika spraví naraz dve palacinky a položí ich na dva susedné taniere (na každý tanier jednu). Občas príde Matúš a zje po jednej palacinke z dvoch susedných tanierov. Ak bude Matúš spolupracovať s Veronikou, môže sa im podariť nachystať na každý tanier práve dve palacinky? Dva taniere považujeme za susedné práve vtedy, keď sú v tom istom riadku alebo stĺpci vedľa seba.
Zafarbime si rozložené taniere šachovnicovo. Čiernych políčok nech je viac, teda $13$, bielych $12$ (pri opačnom zafarbení vyzerá dôkaz takmer rovnako).
Chceli by sme, aby sa na každom tanieri nachádzali $2$ palacinky. Teda chceme, aby sa na čiernych tanieroch dokopy nachádzalo $132 = 26$ palaciniek a na bielych $122 = 24$ palaciniek.
Obe zmeny, pridanie, či odobratie palaciniek z $2$ susedných tanierov zachovávajú, že počet palaciniek na bielych tanieroch je rovný počtu palaciniek na čiernych tanieroch. Vidíme to z toho, že biely tanier susedí len s čiernymi a čierny len s bielymi taniermi. Preto každá zo zmien pridáva/odoberá rovnaký počet – jednu palacinku z bieleho a jednu z čierneho taniera.
Nazačiatku je na oboch farbách $0$ palaciniek. Ale ak žiadna operácia nemôže zmeniť to, že počet palaciniek na čiernych je rovný počtu palaciniek na bielych tanieroch, tak sa nám nikdy nepodarí dostať zároveň na čiernych tanieroch $26$ a na bielych tanieroch $24$, keďže to nie je rovnaký počet.
A preto nedokážeme, ani keby sme sa akokoľvek snažili, dať na každý tanier po $2$ palacinky
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí