Označme si nejaký $6$-ciferný palindróm ako $ABCCBA$, pričom $A,\, B,\, C$ sú jeho cifry. To si ďalej vieme prepísať nasledovne $$ABCCBA = 100000 \cdot A + 10000 \cdot B + 1000 \cdot C + 100 \cdot C + 10 \cdot B + A = 100001 \cdot A + 10010 \cdot B + 1100 \cdot C.$$ Pozrime sa, čo pre tieto cifry musí platiť, aby bol výsledný palindróm násobkom $7$. Vieme, že ak od tohto výrazu odpočítame alebo pripočítame násobok $7$, na jeho deliteľnosti sa nič nezmení. Čísla, ktorými násobíme $A,\, B$ a $C$, preto vieme vydeliť $7$ a počítať ďalej len s ich zvyškami po delení. Platí, že $100001 = 7 \cdot 14285 + 6,\, 10010 = 7 \cdot 1430,\, 1100 = 7 \cdot 157 + 1$. Môžeme si napríklad všimnúť, že hodnotu cifry $B$ môžeme zvoliť ľubovoľne – na deliteľnosti palindrómu nič nezmení.

Zostáva nám určiť, pre ktoré dvojice cifier $A$ a $C$ bude číslo $6 A + C$ násobkom $7$. Tu už vieme jednoducho vyskúšať jednotlivé možnosti pre $A$ a dopočítať $C$. Ešte si však zjednodušíme prácu. $$6 \cdot A + C = 7 \cdot A + (C - A).$$ Číslo $7 \cdot A$ je isto násobkom sedmičky, takže potrebujeme, aby rozdiel $C - A$ bol tiež jej násobkom. Keďže sú obe čísla cifry, ich rozdiel musí byť $0$ alebo $\pm 7$. Pre $C = A$ dostaneme $9$ možností (keďže $A$ nemôže byť $0$), pre $C = A + 7$ dve, a pre $C = A - 7$ tri ($C$ môže byť nula).

Dokopy sme našli $14$ možností pre dvojicu $A,\, C$. K nim môžeme zvoliť cifru $B$ ľubovoľne. Celkový počet šesťciferných palindrómov tak bude $14 \cdot 10 = 140$.