Podľa Martina Kopčányho (upravené)

Dokázať, že niečo je racionálne číslo, je ekvivalentné s nájdením periódy v desatinnom rozvoji. Dokázanie, že niečo nie je racionálne, je ekvivalentné s dokázaním, že taká perióda neexistuje. Dokážeme, že žiadna taká perióda nemôže existovať.

Uvažujme nasledujúce dve operácie a dva pojmy. Nech $p$ je číslo zložené z núl a jednotiek. Operácia $p^s$ predstavuje číslo $p$ napísané odzadu. Číslo $p$ je symetrické (t. j. palindróm¹), ak platí $p^s=p$. Operáciou $p^i$ dostaneme inverzné číslo k číslu $p$, to je také, ktoré sa napíše z čísla $p$ vymenením $0$ za $1$ a naopak. Antisymetrické číslo je také, pre ktoré platí $p^{is}=p$. Na poradí operátorov $i$ a $s$ nezáleží. Znakom $|$ označíme spojenie čísel za seba. Rozmyslime si, že $(a|b)^i=a^i|b^i$, $(a|b)^s=b^s|a^s$.

Všimnime si, že číslo $a_2$ je antisymetrické číslo, $a_3$ je symetrické číslo a $a_4$ je antisymetrické číslo. Pre indukciu predpokladajme, že $a_{2k-1}$ je symetrické číslo a $a_{2k-2}$ je antisymetrické číslo, potom $$(a_{2k})^{is} = (a_{2k-1}|a_{2k-1}^i)^{is} =(a_{2k-1}^i|a_{2k-1})^s=a_{2k-1}^s|a_{2k-1}^{is}=a_{2k-1}|a_{2k-1}^i=a_{2k},$$ čiže $a_{2k}$ je antisymetrické číslo za využitého predpokladu, že $a_{2k-1}$ je symetrické. Ak $a_{2k}$ je antisymetrické číslo, potom $$a_{2k+1}^s = (a_{2k} | a_{2k}^i)^s = a_{2k}^{is}|a_{2k}^{s}=a_{2k}|a_{2k}^{i}=a_{2k+1},$$ tak $a_{2k+1}$ je symetrické číslo za využitia antisymetrickosti $a_{2k}^{is}=a_{2k}$, resp. $a_{2k}^{s}=a_{2k}^i$.

Označme $p$ periódu dĺžky $d$. Taktiež vieme, že ak perióda existuje, musí niekde začať a jej začiatok si môžeme definovať na ľubovoľný iný neskorší člen postupnosti. Pre názornú ukážku $0.\overline{17} = 0.1\overline{71}$.

Môžeme predpokladať, že existuje $a_{2i-1}$ také, že $a_{2i-1} = 0110\dots p$. Potom $a_{2i}=0110 \ldots p | p\ldots=a_{2i-1}| p\ldots$. Keďže $a_{2i-1}^s=a_{2i-1}$ je symetrické, taktiež vieme, že číslo $$a_{2i}=a_{2i-1}|a_{2i-1}^i=a_{2i-1}|a_{2i-1}^{si} = a_{2i-1} | (0110\dots p)^{si} = a_{2i-1} | (p^s\dots 0110)^i = a_{2i-1} | p^{si}\dots 1001.$$ Za $a_{2i-1}$ nasleduje $p^{si}$, ale zároveň to musí byť rovné $p$, takže $p=p^{si}$ je antisymetrické číslo.

Ak je dĺžka čísla $p$ nepárna, t. j. $d=2k+1$, tak stredná cifra čísla $p$ a $p^{is}$ sú rôzne, a keďže musí platiť $p=p^{is}$, tak dostávame spor.

Ak je dĺžka párna, uvažujme následujúcu postupnosť $A=01$, $B=10$ a $b_2 =AB$, $b_3=ABBA$ a tak ďalej. Číslo $b_n$ má rovnaký tvar ako $a_n$, len namiesto $0$, $1$ máme $A$, $B$. Keď však dosadíme $A=01$, $B=10$, dostaneme $b_n=a_{n+1}$. Dôkaz indukciou, pre $n=1$ platí $b_1=A=01=a_2$. Ďalej $$b_n=b_{n-1}|b_{n-1}^i=a_n|a_{n}^i=a^{n+1}.$$

Označme desatinné číslo $0.b$, ktoré má za desatinnou čiarkou znaky $A$, $B$ namiesto $0$, $1$. Perióda $p$ je zvolená tak, že začína na nepárnej pozícii. Preto pozostáva z úsekov dĺžky $2$, ktoré sú $A$ alebo $B$. To znamená, že $0.b$ je periodické s dĺžkou periódy $d/2$. Lenže $0.b$ je zároveň len prepísané $0.a$, kde píšeme $A$, $B$ namiesto $0$, $1$. Takže $0.a$ je periodické aj s periódou dĺžky $d/2$. Avšak periódu $p$ sme si mohli zvoliť najkratšiu možnú, a dostali sme kratšiu periódu ako $p$ dĺžky $d/2$, čo je spor.

Preto taká perióda nemôže existovať a číslo $0.a$ nie je racionálne.