8. Krtko a Malý Snár
Zadanie
Adam mal snár. V snári boli odpovede. Odpovedali na otázky. Na otázky typu „Aký význam má to, čo sa mi práve snívalo?“ Krtko mal sen. Snívalo sa mu o trojuholníku. Trojuholník však v snári nebol. Preto bol Krtko smutný, keď mu Adam povedal: „Prepáč Krtko, teraz budeš smutný, lebo trojuholník v mojom snári nie je.“ A tak bol Krtko smutný. Ale nemusel by byť. Pomôžte vyriešiť Krtkov sen, aby bol šťastný.
Je daný trojuholník $ABC$ s bodom $E$ na strane $BC$ tak, že $|BE| > |EC|$. Zostrojte1 body $D$ a $F$ postupne na stranách $AB$ a $AC$ tak, aby uhol $DEF$ bol pravý a zároveň aby úsečka $DE$ delila úsečku $BF$ na polovicu.
-
Ak ste sa s podobným typom úloh ešte nestretli, môže vám pomôcť krátky text na stránke: https://kms.sk/ako_riesit/konstrukcne_ulohy/ ↩
Pozorovania
Predtým, ako popíšeme ako takéto body zostrojiť, pozrime sa na vlastnosti finálnej konštrukcie, ktorá vyplýva zo zadania. Vytvorme si bod $K$ na polpriamke $EC$ taký, že $|BE| = |EK|$. Zo zadania vieme, že $|BE| > |EC|$, z čoho vieme usúdiť, že bod $K$ bude ležať mimo strany $BC$.
Označme si $S$ priesečník $DE$ a $BF$. Zo zadania vieme, že $S$ je stredom úsečky $BF$. Keďže zároveň je bod $E$ stredom úsečky $BK$, tak $ES$ je strednou priečkou v trojuholníku $FBK$. O stredných priečkach vieme, že sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka, a teda $ES\ ||\ KF$.
Priamka $EF$ pretína rovnobežné priamky $ES$ a $KF$, z čoho vyplýva, že uhly $DEF$ a $EFK$ sú striedavé, majú teda rovnakú veľkosť. Keďže zo zadania máme $|\sphericalangle DEF| = 90^\circ$, platí tiež $|\sphericalangle EFK| = 90^\circ$. Preto bod $F$ musí ležať na Tálesovej kružnici nad úsečkou $EK$.
Konštrukcia
Teraz keď už vieme čo to o vlastnostiach daného trojuholníka, môžeme popísať, ako by sme body $D$ a $F$ mohli skonštruovať.
-
Vytvorme polpriamku $EC$ a na nej bod $K$ taký, že $|BE| = |EK|$.
-
Nájdime stred úsečky $EK$ a označme ho $M$. Skonštruujme kružnicu $k$ so stredom v $M$ a polomerom $|MK|$.
-
Priesečník kružnice $k$ a strany $AC$ je hľadaný bod $F$.
-
Skonštruujeme úsečku $FE$ a na ňu kolmú priamku prechádzajúcu bodom $E$. Priesečník tejto priamky a strany $AB$ je hľadaný bod $D$.
Je známe, že pomocou pravítka a kružidla vieme skonštruovať priamky, kružnice, stredy strán a kolmice. V našej konštrukcii sa nič iné nevyužíva, a teda sme schopný body $D$ a $F$ skonštruovať. V prvej časti riešenia sme zistili, že ak nejaké body $D$, $F$ majú spĺňať podmienky zo zadania, tak to musia byť presne takto skonštruované body. To, že $D$, $F$ skutočne spĺňajú podmienky zo zadania sa overí obráteným postupom. Keďže uhly $KFE$ a $FED$ sú pravé, tak $KF$ a $ED$ sú rovnobežné. Spolu s tým, že $E$ je stred $BK$ to znamená, že $ES$ je stredná priečka v $FBK$, teda $S$ je stred $BF$.
Čo sa môže pokaziť
Pri takejto konštrukcii však môže nastať problém. V bode $3$ predpokladáme, že priesečník kružnice $k$ a strany $AC$ existuje. Ak však nastane situácia, kedy body $A$ a $C$ ležia oba vnútri kružnice $k$ (inak povedané, platí $|EM| > |AM|$), tak tento priesečník neexistuje. Z pozorovaní však vieme, že bod $F$ musí určite ležať na kružnici $k$ kvôli tomu, aby bol uhol $FED$ pravý. Preto vieme povedať, že pre takúto kombináciu trojuholníka $ABC$ a bodu $E$ nie je možné skonštruovať body $D$ a $F$.
Podobne by sme mohli uvažovať v bode $4$, či sa kolmica na $FE$ vždy pretne so stranou $AB$. O uhle $CED$ však vieme, že jeho veľkosť je menej ako $180^\circ$. Je to preto, lebo uhol $FED$ má byť pravý a $FEK$ je pravouhlý trojuholník, čiže uhol $FEK$ je vždy menší ako $90^\circ$, čiže $|\sphericalangle CED|<180^\circ$. Preto bod $D$ nebude mimo úsečky $AB$ za bodom $B$. Keďže $ED$ je rovnobežné s $KF$, tak $|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle FKE|<|\sphericalangle FCE|$, takže bod $D$ nebude mimo úsečky $AB$ ani za bodom $A$. Tým vieme usúdiť, že priesečník kolmice na $FE$ prechádzajúcej bodom $E$ a priamky $AB$ bude vždy ležať medzi bodmi $A$ a $B$.
