Podľa Martina Kopčányho (mierne upravené)

Úlohu dokážeme indukciou pre $k$, kde naše $k$ bude $n$ zo zadania.

Základný prípad $k=1$

Vtedy máme dokázať, že $1+\frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0}\right) \le \left(1+\frac{1}{a_0}\right)\left(1+\frac{1}{a_1}\right)$.

Táto nerovnosť je ekvivalentná s nerovnosťami $$\begin{aligned} 1+\frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0}\right) &\le& \left(1+\frac{1}{a_0}\right)\left(1+\frac{1}{a_1}\right), \ 1 + \frac 1 {a_0} + \frac 1 {a_0(a_1-a_0)} &\le & 1+\frac 1 {a_0} +\frac 1 {a_1} + \frac {1}{a_0a_1}, \ \frac 1 {a_0(a_1-a_0)} &\le& \frac 1 {a_1} + \frac {1}{a_0a_1}, \ a_1 &\le & a_0 (a_1-a_0)+(a_1-a_0), \ a_1 &\le & a_0 a_1-a_0^2+a_1-a_0, \ a_0 &\le & a_0 a_1-a_0^2, \ 1 &\le & a_1-a_0. \\end{aligned}$$

Posledná nerovnosť zo zadania platí. Všimnite si, že sme násobili $a_0,\ a_1-a_0,\ a_1$, ale tieto hodnoty sú podľa zadania kladné, a preto sú nerovnosti ekvivalentné.

Týmto sme dokázali základný prípad pre $k=1$.

Indukčný krok

Predpokladajme teda, že nerovnosť platí pre nejaké $k$. Vieme teda, že platí $$\left(1+\frac{1}{a_0}\right)\left(1+\frac{1}{a_1}\right) \dots \left(1+\frac{1}{a_k}\right) \ge 1+\frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right).$$ Označme si teraz $V=\left(1+\frac{1}{a_0}\right)\left(1+\frac{1}{a_1}\right) \dots \left(1+\frac{1}{a_k}\right)$ a $1+M=1+\frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right)$ .

Vieme teda, že $V \ge 1+M$.

Treba nám dokázať $$\left(1+\frac{1}{a_0}\right)\left(1+\frac{1}{a_1}\right) \dots \left(1+\frac{1}{a_k}\right) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge 1+\frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right).$$ Po dosadení $M$ a $V$: $$V \left(1+\frac{1}{a_{k+1}} \right)\ge 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right).$$ Vynásobením indukčného predpokladu (kladným) výrazom $\left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right)$ dostaneme: $$V \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge (1+M) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right)$$ Na to aby sme dokázali indukčný krok, nám teda stačí ukázať, že $(1+M) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right)$.

To je ekvivalentné s

$$\begin{aligned} (1+M) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) &\ge& 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right), \ 1+M+ \frac{1}{a_{k+1}} + \frac{M}{a_{k+1}} &\ge& 1+ M + \frac{M}{a_{k+1}-a_0}, \ \frac{1}{a_{k+1}} + \frac{M}{a_{k+1}} &\ge& \frac{M}{a_{k+1}-a_0}, \ (a_{k+1}-a_0)+M(a_{k+1}-a_0) &\ge& Ma_{k+1}, \ (a_{k+1}-a_0) &\ge& Ma_0. \\end{aligned}$$

Na ďalšie riešenie si miniindukciou ukážeme, že $a_l \ge l + a_0$. Pre základný prípad $l=0$ to platí. Pri dokazovaní indukčného kroku vieme, že $a_{l}\ge l +a_0$, a teda $a_{l+1} \ge 1 + a_l \ge (l+1) + a_0$, čo bolo treba dokázať.

Pozrime sa na výraz $Ma_0$. Vieme, že $$\begin{aligned} Ma_0 &=& a_0 \frac{1}{a_0}\left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right) \ &=& \left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right). \\end{aligned}$$ Pre každé $i>0$ vieme: $$\begin{aligned} a_i - a_0 &\ge& i >0, \ \frac{1}{i} &\ge& \frac{1}{a_i - a_0} > 0, \ \frac{i+1}{i} &\ge& \left(1 + \frac{1}{a_i - a_0}\right) > 0, \ \frac{2}{1} \frac{3}{2} \dots \frac{k+1}{k} &\ge& \left(1+\frac{1}{a_1-a_0} \right)\dots \left(1+\frac{1}{a_k-a_0} \right) = Ma_0,\ \frac{k+1}{1} &\ge& Ma_0.\\end{aligned}$$ Preto $k+1 \ge Ma_0$. Keďže už vieme, že $a_{k+1}-a_0 \ge k+1$, tak máme $a_{k+1}-a_0 \ge Ma_0$, čo bolo treba na dokázanie indukčného kroku.

Krátke zhrnutie v postupnom (induktívnom) poradí:

• Dokážeme úlohu pre $k=1$.

• Indukčný krok:

• Miniindukciou dokážeme, že $a_l \ge l + a_0$.

• Z toho dokážeme, že $Ma_0 \le k+1 \le a_{k+1}-a_0$.

• Ďalej nám z toho po úpravách vyplynie, že $(1+M) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right)$.

• Z indukčného predpokladu dostaneme: $V \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge (1+M) \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right)$.

• Z čoho nám vyplynie, dôkaz indukčného kroku: $V \left(1+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge 1+M \left(1+\frac{1}{a_{k+1}-a_0} \right)$